Frage zur Anwendung vom Orthogonalen Komplement und allgemein zur Diagonalisierbarkeit.

Question

Aufgabe:

(a) Betrachten Sie den R. Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) versehen mit dem kanonischen Skalarprodukt und die lineare Abbildung
$$ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto(x-y, y-z, z-x) $$
Berechnen Sie eine orthonormale Basis von \( \operatorname{Im}(f) \) und danach eine orthonormale Basis \( \operatorname{von}(\operatorname{Im}(f))^{\perp} \)
(b) Betrachten Sie die Matrix
$$ B=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 2 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{R}) $$
Beweisen Sie, dass \( B^{593}-2 B^{15}=-B \) [Hinweis: Diagonalisierung.]

Frage/Ansatz:

Ich habe eine Frage bei der a) von dieser Aufgabe. Da stellt sich ein problem dabei. Ich habe mit Hilfe von dem Bild mit der kanonischen Basis von R³ gearbeitet. Damit dann die orthonormale Basis bestimmt, wenn ich aber das Bild mit dem orthogonalen Komplement umwandeln will, bekomme ich dort keine Lösung. Ich weiß nicht ob mein Ansatz schlecht war, oder ob ich mich Verrechnet habe. Bei der b) finde ich mit dem Tipp der Diagonalisierung keinen Ansatz.

Danke vielmals für die Hilfe.

Comments

Alternativer Tipp zu b): Rechne nach, dass B³=B ist. Schließe daraus, dass auch B²ⁿ⁺¹=B für alle n∈ℕ ist.

Answer 1

Aloha :)

Aufgabenteil a)

$$\left(\begin{array}{c}x-y\\y-z\\z-x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$$Die Spalten der Abbildungsmatrix spannen den Bild-Raum auf. Durch elementare Spaltenumformungen finden wir eine Basis des Bildes:$$\left(\begin{array}{r}& +S_1 & \\\hline1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & +S_2\\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & -1\\-1 & -1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} \vec b_1 & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\-1 & -1 & 0\end{array}\right)$$Wir finden 2 Basisvektoren, die aber noch nicht orthogonal sind. Wir halten \(\vec b_1\) fest und berechnen den dazu orthogonalen Anteil von \(\vec b_2\):$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)-\frac{\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)}{(\sqrt2)^2}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1/2\\1\\-1/2\end{array}\right)$$Eine mögliche Orthogonalbasis des Bildes ist also:$$\text{Im}(f)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)\,\right)$$Da das Bild aus nur 2 Basisvektoren besteht, ist eine Basis des orthogonalen Komplements einfach das Vektorprodukt der beiden Basisvektoren des Bildes:$$\left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\text{Im}^\perp(f)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$

Aufgabenteil b)

Die Eigenwerte und eigenvektoren von \(B=\left(\begin{array}{c}-2 & 4 & 3\\0 & 0 & 0\\-1 & 5 & 2\end{array}\right)\) lauten:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=0\quad;\quad\lambda_3=1$$$$v_1=\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)\quad;\quad v_2=\left(\begin{array}{c}7\\-1\\6\end{array}\right)\quad;\quad v_3=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$$Damit haben wir die Transformationsmatrix \(S\) und die Diagonalmatrix \(D\):$$S=\left(\begin{array}{r}3 & 7 & 1\\0 & -1 & 0\\1 & 6 & 1\end{array}\right)\quad;\quad S^{-1}=\left(\begin{array}{r}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\0 & -1 & 0\\-\frac{1}{2} & \frac{11}{2} & \frac{3}{2}\end{array}\right)$$$$D=S^{-1}BS=\left(\begin{array}{r}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Stellen wir die Matrixgleichung für \(D\) um, finden wir$$B=SDS^{-1}$$$$B^2=SDS^{-1}SDS^{-1}=SDDS^{-1}=SD^2S^{-1}$$$$B^3=B^2B=SD^2S^{-1}SDS^{-1}=SD^3S^{-1}$$und so weiter. Damit ist:

$$B^{593}-2B^{15}=SD^{593}S^{-1}-2SD^{15}S^{-1}$$$$\quad =S\left(\begin{array}{c}(-1)^{593} & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1^{593}\end{array}\right)S^{-1}-2S\left(\begin{array}{c}(-1)^{15} & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1^{15}\end{array}\right)S^{-1}$$$$\quad =\underbrace{S\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)S^{-1}}_{=B}-\underbrace{2S\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)S^{-1}}_{=2B}=B-2B=-B$$

Comments

Also wenn ich diese orthogonal Basen haben, dann kann ich das Graham-Schmidt-Verfahren anwenden ?

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Ja genau. Nachdem du die Spaltentransformationen durchgeführt hast, bleiben 2 Basisvektoren übrig. Die sind aber noch nicht orghogonal. Auf diese beiden Basisvektoren wendest du das Graham-Schmidt-Verfahren an, um sie orthogonal zueinander zu machen.

Hier musst du übrigens sehr aufpassen. Machnmal wird gefordert, dass die Basis orthonormal und nicht nur orthogonal sein muss. Wenn orthonormale Basisvektoren gefordert sind, musst du die orthogonalen Basisvektoren noch auf die Länge 1 normieren.

Answer 2

b)  B ist ähnlich zu

0   0    0
0   1    0
0   0    -1

und davon die Potenzen sind ja sehr übersichtlich.