Wie kann ich die Äquivalenz zeigen?

Question

Hi, ich versuche zu zeigen, dass dies äquivalent ist:

Aufgabe:

\( A \) ist positiv semi-definit.
Es gibt eine Matrix \( W \in \mathbb{R}^{n \times n} \operatorname{mit} A=W^{T} W \)

Mein Ansatz dazu ist, dass man ja die Matrix, wie bei der Hauptachsentranformation auf die Gestalt A=W^T·D·W bringen kann, wobei D ja dann ja eine Diagonalmatrix, bestehend aus den Eigenwerten von A wäre, die ja auch Auskunft über die Definitheit von A geben würde. Aber damit A=W^T·D·W=A=W^T·W entsprechen würde, würde für D doch nur die Eiheitsmatrix in Frage kommen, sprich A hätte nur 1 als Eigenwert. Aber dann wäre D ja nicht mehr positiv semi-definit, sondern positiv-definit, was ja irgendwie nicht stimmen kann.

Ich drehe mich hier gerade ein wenig im kreis. könntet ihr mir vielleicht helfen?
VG

Comments

Hallo,

Du hast noch nicht ausgenutzt, das A positiv definit ist. Dann sind die Eigenwerte positiv. Die Matrix D kann als D=F*F mit einer Diagonalmatrix F dargestellt werden ....

Gruß

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Hi, sorry wenn ich mich jetzt total dumm anstelle, aber A ist doch positiv-semidefit, dann müssten sie doch nicht zwingend positiv sein. Ich verstehe gerade ehrlich gesagt nicht so recht, wie das ganze zusammenhängt:/

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positiv semi-definit => Eigenwerte nicht negativ, also hast du irgendwie eine Matrix der Form:

$$ D = \begin{pmatrix} 0 \\& \ddots \\ && 0\\ &&&\lambda_1\\&&&&\ddots\\&&&&&\lambda_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\& \ddots \\ && 0\\ &&&\sqrt{\lambda_1}\\&&&&\ddots\\&&&&&\sqrt{\lambda_k} \end{pmatrix}^2 = \tilde{D}^2 = \tilde{D}^T\tilde D $$

Also \( W^T D W = W^T \tilde{D}^T \tilde D W = (\tilde D W)^T(\tilde D W) \)

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vielen dank, ich glaube jetzt habe ich es verstanden:)

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Sorry, dass ich nochmal nachfrage, aber was bedeutet das Tilde über dem "D". Habe gestern gedacht es sei einfach nur ein komplex konjungiert Zeichen, aber das macht ja irgendwie keinen Sinn, wenn es bewirkt, dass die Lambdas unter der Wurzel stehen.

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Mit \( \tilde D\) ist einfach die "Wurzel" von D gemeint

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Ok, vielen Dank:) Aber Müsste dann (D~W)^T(D~W) (sorry für die Scheibweise) nicht wieder W~^TW ergeben?

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Du suchst ein X s.d.

$$ D = X^TX $$

Und ein mögliches X ist \( X =\tilde D W \)

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Danke, dass du nochmal geantwortet hast. ich bin etwas verwirrt. ich suche doch ein A=W^TW..

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Wie du das nennst ist doch total egal?

Dein Problem ist dass du im ersten Schritt W schon für eine Matrix verwendest die nicht dem gesuchten W entspricht:

$$ A=W^TDW $$

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Oh man jaaa, vielen Dank. Habe es jetzt (auch wenn man es wahrscheinlich nicht gluaben kann) wirklich verstanden.

Aber müsste ich nicht noch die Rückrichtung zur Vollständigkeit machen?Oder reicht das so?

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Dann hätte ich es doch durch das \( \sqrt{D} \) gezeigt, oder:

$$A=W^{T}W=X^{T}diag(\lambda_{1}...\lambda_{n})X=X^{T}DX=X^{T}\sqrt{D}\sqrt{D}X$$

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Wenn \( A=W^TW \) gilt ja wohl für alle Vektoren x

$$ x^TAx = x^TW^TWx = (Wx)^T(Wx) \ge 0 $$

also positiv semidefinit.

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Ok, vielen vielen Dank