Spann (Analytische Geometrie/ Lineare Algebra)

Question

Hi, ich soll zeigen, dass

sin(2x) ∉ span({\( \frac{1}{\sqrt{2}} \), sin(x), cos(x)}).

Ich habe mir überlegt, dass

span({\( \frac{1}{\sqrt{2}} \), sin(x), cos(x)}) = span({ \( \frac{a}{\sqrt{2}} \) + b*sin(x) + c*cos(x) | a, b, c reell}), also muss ich doch zeigen, dass für keine reellen a, b, c

sin(2x) = \( \frac{a}{\sqrt{2}} \) + b*sin(x) + c*cos(x). Ist das richtig und wenn ja, wie geht das?

Danke für eure Hilfe :)

Answer 1

Es ist wie du sagst:

Wenn es aus dem Span wäre, dann gäbe es a,b,c aus ℝ mit

sin(2x) =a/√2 + b*sin(x) + c*cos(x)   für alle x ∈ℝ.

also würde das insbesondere gelten für

x=0        das gäbe  0 = a/√2              + c

x=pi/2     das gäbe   0 =  a/√2     + b

x = -pi/2   das gäbe   0 =  a/√2     - b

Das Gl.syst. hat die Lösung (0,0,0).

Was aber dann etwa für x=pi/4 zu einem falschen Ergebnis führt.

Comments

Ahhh, so geht das also: Man sucht sich schöne x-Werte raus und löst dann ein Lineares Gleichungssystem. Vielen Dank!