Modulo mit so wenig Aufwand wie möglich

Question

Berechnen Sie von Hand mit so wenig Aufwand wie möglich und geben Sie den Rechenweg mit allen Zwischenschritten an.

a) 211 · 302 + 13  mod 3
b) 11111111111  mod 11
c) 2⁹⁰⁰+900²  mod 9

Problem/Ansatz:

Für Ansätze sowie Lösungen zur Kontrolle wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

211 · 302 + 13  mod 3
≡ 1 * 2 + 1       mod 3

≡ 0                   mod 3

b) 11111111111  mod 11

=  11000000000 + 110000000 + 1100000 + 11000 + 110 + 1

≡              0          +       0          +      0        +     0    +     0  + 1   mod 11

≡  1         mod 11

 
c) 2^900+900^2  mod 9

900 ist durch 9 teilbar, also ist der 2. Summand eine 0

2^3 = 8 ist kongruent zu -1 mod 9, also ist

2^6 = 64 kongruent 1 mod 9

also sind auch 2^12   2^18  also alle 2^(6*n) kongruent 1 mod 9

Für n=150 also 2^900 ≡ 1 mod 9 und damit

2^900+900^2  ≡   mod 9

Answer 2

a) Den Rest bei Division durch 3 findet man über die Quersummenregel. Dann ist

211 · 302 + 13≡4·5+4  mod 3 und 24≡0 mod3.

b) Den Rest bei Division durch 11 findet man über die alternierende Quersummel. Dann ist 11111111111≡ 1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1≡1  mod 11