Diophantische Gleichungen - 91a + (10^15+1)b = 1

Question

Hallo, 

könnte mir einer bei den folgenden zwei diophantischen Gleichungen helfen? Zu Zeigen wäre, dass folgende Gleichungen keine Lösung in Z² haben...

a)  91a + (10¹⁵+1)b = 1
b) a² + b² = 643 *(10²⁴+7)

Comments

Tipp zu (a):  91 und 1+10¹⁵ sind beide durch 7 teilbar.

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Könntest du das eventuell etwas weiter ausführen?

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Welche Eigenschaft hat die Summe zweier Summanden, die beide durch 7 teilbar sind?

Und ist die Zahl 1 in der Lage, so zu sein?

Answer 1

genauer ausführen :   7 | 91  ist wohl klar   13*7=91

Dann sicher auch noch klar:  7 | 1001  denn 1001=143*7

Damit auch alle Potenzen von 1001

Mit dem binomischen Satz findest du   (1000+1)^5

= ( 10^3 + 1 ) ^5 = 10^15 + 5*10^12 + 10*10^9+ 10*10^6 + 5*10^3 + 1^5

 = 10^15+ 10*10^9+ 10*10^6 + 5*10^12 + 5*10^3 + 1^5

= 10^15+ 10*10^6*(10^3+1)  + 5*10^3*( 10^9 + 1 )  + 1^5

Der mittleren Summanden sind Vielfache  von 1001bzw. 1000000001 , also durch 7 teilbar

und damit ist 10^15 + 1 also auch durch 7 teilbar.

Also sind in der Gleichung 91a + (10^15+1)b = 1

die Koeffizienten von a und b beide durch 7 teilbar, also

kann der ggT dieser Koeffizienten nicht 1, was er aber sein

müsste, wenn die diophantische Gleichung eine

Lösung hätte.

Comments

Den binomischen Satz solltest du dir unbedingt nochmal ansehen.

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Danke, guter Tipp !