Geben Sie ein kleinstmögliches von n ∈ N an..

Question

Aufgabe:

Es sei \( n \in \mathbb{N} \). Geben Sie ein kleinstmögliches \( N \in \mathbb{N} \) an, sodass fur alle \( n \geq N \) die Abschätzung \( \left|\frac{n+2}{2 n+2}-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{1}{1000} \)

Answer 1

Aloha :)

$$a_n:=\left|\frac{n+2}{2n+2}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{n+2}{2n+2}-\frac{n+1}{2(n+1)}\right|=\left|\frac{n+2}{2n+2}-\frac{n+1}{2n+2}\right|=\frac{1}{2n+2}$$$$\left.a_n\le\frac{1}{1000}\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.\frac{1}{2n+2}\le\frac{1}{1000}\quad\right|\;\text{Kehrwerte}$$$$\left.2n+2\ge1000\quad\right|\;-2$$$$\left.2n\ge998\quad\right|\;:2$$$$\left.n\ge499\quad\right.$$Die Abschätzung gilt für alle \(n\ge N=499\).