Konvexe Funktionen nachweisen

Question

Sei C ⊆ R^n . Seien weiter f, g : C→ℝ konvexe Funktionen.

1. Zeigen Sie, dass für α, β ≥ 0, auch αf + βg konvex ist.

2. Sei A ∈ ℝ^nxn und b ∈ ℝ^n . Zeigen Sie ,dass φ(x):= f(Ax + b) konvex ist.

Kann mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Ich habe zu 1. mehre Beispiele aber keinen Beweis gefunden.

Vielen Dank

Comments

Bin schon drauf gekommen :)

Answer 1

Das geht doch wohl direkt nach Definition.

f:  C→ℝ konvex heißt: Für alle t∈[0;1] und alle x,y aus C  gilt

 f(t*x+(1-t)*y ≤ t*f(x) + (1-t) * f(y) #

Für a≥0 gilt das sofort auch für a*f, denn nach Def. von af gilt

(af)(z) = a* f(z)  für alle z aus C, also durch Multiplikation von #

mit dem (nicht negativen ! ) a gilt # auch für af.

Entsprechend auch für bg.

Und dann ist es bei der Summe auch kein Problem; denn du hast

ja dann zwei Ungleichungen in der Art

A ≤ B    und  C ≤ D

und das gibt natürlich  A+C ≤ B+D.