Polynomfunktion 3. Grades ( 2. Nullstellen)

Question

Hallo,

Wie lautet der Funktionsterm dieser Polynomfunktion. Bei mir kommt irgendwie am Ende f(x)= -x^2+9, kann aber nicht sein weil das dann keine Polynomfunktion 3 Grades wäre. Das Problem ist auch dass es nur 2 Nullstellen gibt.

Answer 1

f(x) = a·(x+3)·(x-3)² wegen der Nullstellen

f(0) = 9 wegen des y-Achsenabschnitts, also

        9 = a·(0+3)·(0-3)² ⇒ a = 1/3

und somit

        f(x) = 1/3 · (x+3)·(x-3)².

Comments

Genau so habe ich es auch gerechnet nur dass ich 9 = a·(0+3)·(0-3) also ohne das ^2 gerechnet habe. Der Grund wieso ^2 ist der dass es bei x=3 sozusagen eine doppelte Nullstelle gibt, oder?

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Ja, wegen der doppelten Nullstelle bei 3 gehört das x-3 quadriert.

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Super, vielen Dank

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Hallo ich hätte noch ne 2. Frage wie würde jetzt die Paramterdarstellung der Sekanten im Intervall [0;3] lauten?

Answer 2

Wir sehen 2 Extrema (2 Buckel) und damit ist das eine ganzrationale Funktion 3.Grades (kubische Funktion)

Anzahl der Extrema (Buckel)=n-1  (n=höchster Exponent)

y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao  aus f(0)=9 → ao=9

f´(x)=0=3*a3*x²+2*a2*x+1*a1

P1(3/0) und P2(-3/0)  mit P1(3/0) → Minimum f´(3)=m=0

ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS)

1)f(3)=0=a3*3³+a2*3²+a1*3+9

2) f(-3)=0=a3*(-3)³+a2*(-3)²+a1*(-3)+9

3) f´(3)=0=3*a3*3²+2*a2*3+a1

dieses LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) 27*a3+9*a2+3*a1=-9

2) -27*a3+9*a2-3*a1=-9

3) 27*a3+6*a2+1*a1=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=1/3 und a2=-1 und a1=-3  und ao=9

gesuchte Funktion y=f(x)=1/3*x³-1*x²-3*x+9

~plot~1/3*x^3-1*x^2-3*x+9;[[-10|10|-5|12]]~plot~

Comments

Hallo ich hätte noch ne 2. Frage wie würde jetzt die Paramterdarstellung der Sekanten im Intervall [0;3] lauten?

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Wie mache ich das

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Die Sekante ist eine Gerade durch 2 Punkte P1(x1/y1) und P2(x2/y2)

Gerade im Raum g: x=a+r*m

a(ax/ay/az)=Stützpunkt (Stützvektor)

r=Geradenparameter,ist nur eine Zahl

m(mx/my/mz)=Richtungsvektor

in der Ebene z=0

m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1

m=Δy/Δx

Gerade: g: x=(x1/y1)+r*(Δx/Δy)

bedeutet:Von Punkt P1 nach Punkt P2