Quadratische Gleichung lösen. (a^{2}-1)x^{2}-ax-1=0

Question

Guten Tag liebe Communitymitglieder,

ich habe folgende Aufgabe:

(6) Quadratische Gleichung. Bestimmen Sie zu festem \( a \in \mathbb{R} \) Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung
$$ \left(a^{2}-1\right) x^{2}-a x-1=0 $$
über \( \mathbb{R} \)

Mein Ansatz: Ich habe bis zu $$x^{2}-\frac{ax}{a^2-1}-\frac{1}{a^2-1}=0$$ umgestellt. Würde jetzt mithilfe der Diskriminante schauen welche weitere Schritte ich gehen kann (pq-Formel, Satz von Vieta..).

Mein Problem: Die Definition der Determinante ist doch $$D := p^2-4q$$ wenn $$x^2+px+q=0$$ eine quadratische Gleichung ist.
Wäre in meinem Fall dann $$(\frac{a}{a^2-1})^2-\frac{4}{a^2-1}$$ die Determinante?

Falls ja, wie kann ich bestimmen welchen weiteren Weg ich einschlagen soll. Bin ich auf komplett falscher Fährte?

Vielen Dank an allen die sich die Zeit nehmen mir zu helfen!

Comments

Wäre das nicht \(D=\displaystyle\left(\frac a{a^2-1}\right)^{\!2}+\frac4{a^2-1}\) ?

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Jap, vielen Dank!

Answer 1

$$(\frac{a}{a^2-1})^2+\frac{4}{a^2-1}=\frac{a^2}{(a^2-1)^2}+\frac{4\cdot(a^2-1)}{(a^2-1)^2}=\frac{5a^2-4}{(a^2-1)^2}$$

Für \(a\neq \pm 1\) ist \(x_{12}= \frac{a\pm\sqrt{5 a^{2}-4}}{2\left(a^{2}-1\right)} \)

Reelle Lösungen gibt es aber nur für \(5a^2-4\ge0\) und \(a\neq \pm 1\).

$$ 5a^2-4\ge0 \Rightarrow a^2\ge0,8 \Rightarrow a\le-\sqrt{0,8}~~;~~a\neq - 1 \text{ oder } a\ge\sqrt{0,8}~~;~~a\neq  1$$

Für a=1 und a=-1 untersuchen wir die Ausgangsgleichung:

$$\left(a^{2}-1\right) x^{2}-a x-1=0$$

$$a=1 \Rightarrow -x-1=0\Rightarrow x=-1$$

$$a=-1 \Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$$

Nun noch ein paar Funktionsgraphen für \(f_a(x)=\left(a^{2}-1\right) x^{2}-a x-1\)

https://www.desmos.com/calculator/7wkvfhnnsi
gelb: a=0.8 keine Nullstelle

schwarz: \(a=\sqrt{0,8}\) eine Nullstelle

rot: a=0,95 zwei Nullstellen

grün: a=1 eine Nullstelle (Gerade!)

blau: a=1,1 zwei Nullstellen

Comments

vielen Dank für die Antwort. Ich gehe davon aus, dass du den Nenner meintest den welchen ich untersuchen soll um dort zu schauen ob 1 bzw. -1 Probleme machen.

Habe nun auf $$\frac{5a^2-4}{a^4-2a^2+1}$$ umgestellt.

Was mir auffällt ist, dass wenn $$a=1$$ dann würde durch 0 geteilt.

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Ich habe hier noch weiter bearbeitet hat aber leider nicht abgespeichert.

Habe nun positive sowie negative Zahlen eingefügt, die Gleichung liefert Ergebnisse größer 0. (Kann hier eine Gleichung sowohl 0 als auch ungleich Null liefern? Was müsste man dann tun? Habe z.B. nicht auf Nullstellen überprüft)

Habe also die pq-Formel angewendet und habe auf folgende Terme umgestellt:

$$x_{1}=\frac{-2a}{(a^2-1)}+\frac{\sqrt{4^2-a^2-1}}{\sqrt{a^4-2a^2+1}}$$
$$x_{2}=\frac{-2a}{(a^2-1)}-\frac{\sqrt{4^2-a^2-1}}{\sqrt{a^4-2a^2+1}}$$

Meine Regelmustererkennung ist leider noch nicht so gut trainiert, bin also nicht sicher ob ich hier noch vereinfachen könnte.

Wie würde man die Lösungsmenge jetzt sauber formal hinschreiben?

Vielen Dank nochmal für eure Geduld.

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Ich habe meine Antwort bearbeitet.

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Vielen Dank für deine Hilfe!!

Ich habe noch zwei Fragen.

1. Warum überprüfst du die Ausgangsgleichung für a=1 und a=-1?

2. Wäre die Lösungsmenge also: L={$$\frac{a\pm\sqrt{5a^2-4}}{2(a-1)^2}:a≠1\text{ oder }a\geq\sqrt{0,8}: a≠1$$}

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In der Ausgangsgleichung ist für a ja kein Wert verboten. Das kommt ja erst durch das Dividieren.

Bei der Lösungsmenge würde ich Fallunterscheidungen vornehmen.

Wenn a..., dann ist L=...

Und vergiss die leere Menge nicht.

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Vielen herzlichen Dank!

Answer 2

Ansatz stimmt.

0=x²-a/(a²-1)-1/(a²-1)

x1,2=-(-a)/(2*(a²-1)+/- Wurzel((-a/(2*(a²-1))²-(-1/(a²-1))=a/(2*(a²-1)+/-Wurzel(a²/(a²-1)²*4+1/(a²-1)

0=a²/(4*(a²-1))+1/(a²-1) Nullstellen gibt es nicht,hat nur positive Werte -1>x>1

nicht definiert bei 0=a²-1  → a1,2=+/-Wurzel(1)

~plot~x^2/(4*(x^2-1))+1/(x^2-1);[[-10|10|-5|2]]~plot~

Comments

Verrechnet\(\)?

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Auf Rechenfehler und Tippfehler prüfe ich nicht,weil ich hier nicht bezahlt werde.

Prüf mal eben nach.

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Was bedeutet eigentlich -1>x>1 ?