Exponentialfunktionen -Wachstumsfaktor feststellen

Question

Hey ich bräuchte etwas Hilfe oder einen Ansatz für meine folgende Aufgabe:

Ein Getränk welches am Anfang 7°Cwarm ist, wird bei einer Umgebungstemperatur von 42°C nach draußen gestellt. Nach 8 Minuten beträgt die temperatur des Getränks 16°C.

Jetzt muss ich zu folgender Aufgabe die dazugehörige Wachstumsfunktion für die Temperatur in Grad Celsius für das Getränk nach t Minuten angeben. Zusätzlich sollte ich auch herausfinden nach welcher Zeit die Temperatur des Getränks bei 25°C liegt.

F(x)=b × a^x

B ist ja der Startwert also = 7

Nur wie bekomme ich jetzt a heraus? Ich weiß dass nach 8 min 9°C mehr hinzukommen. 9 von 16 sind auch 56,25 %. Ist es richtig wenn ich diesen Wert jetzt für a einsetze? Außerdem; spielt die Umgebungstemperatur von 42°C eine Rolle bei der Rechnung?

Answer 1

Ein Getränk welches am Anfang 7°Cwarm ist, wird bei einer Umgebungstemperatur von 42°C nach draußen gestellt. Nach 8 Minuten beträgt die temperatur des Getränks 16°C.

f(x) = 42 - (42 - 7)·((42 - 16)/(42 - 7))^(x/8)

f(x) = 42 - 35·(26/35)^(x/8)

f(x) = 42 - 35·0.9635^x

~plot~ 42;42-35·0.9635^x;[[0|60|0|50]] ~plot~

Answer 2

Exponetialfunktion f(x)=a^(t)

kommt in der Form vor N(t)=No*a^(t)

No=Anfangwert zum Zeitpunkt t=0  N(0)=No*a⁰=No*1=No

No=7° Celsius  und t=8 Minuten N(8)=16° Celsius

N(8)=16=7*a⁸

a=8.te Wurzel(16/7)

a=1,088..

N(t)=7°*1,088^(t)  mit N(t)=25°

25=7*1,088^(t)

25/7=1,088^(t) logarithmiert

ln(25/7)=ln(1,088^t)=t=ln(1,088)  siehe Logarithmengesetz log(a^x)=x*log(a)

t=ln(25/7)/ln(1,088)

t=15,09 Minuten

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Text erkannt:

\( f(x) \)
\( a \)
0

 ~plot~7*1,088^x;[[0|20|0|50]];x=15,09;x=8~plot~