Aufgaben über Skalaprodukte, Normierte Räume und Projektionen, Frage für das Verständnis.

Question

Aufgaben:

Sei \( (V,\langle\cdot, \cdot\rangle) \) ein endlichdimensionaler Skalarproduktraum.
(a) Seien \( u, v \in V \). Zeigen Sie, dass \( \langle u, v\rangle=0 \) genau dann, wenn \( \|u\| \leq\|u+a v\| \) für alle Skalare \( a \)

(b) Sei \( P \in \operatorname{End}(V) \) eine Projektion mit
\[
\|P(v)\| \leq\|v\| \text { für alle } v \in V\]
Zeigen Sie, dass es einen Unterraum \( U \) von \( V \) gibt, sodass \( P \) die orthogonale Projektion auf \( U \) ist

Frage:

Ich habe mir die Aufgabe schon mehrmals durchgelesen und im Skript geschaut aber mir fällt zu allen denen kein Ansatz ein. Ich will, wie immer keine Antworten, eher wie ich damit Anfangen kann, so etwas wie Starthilfe.

Danke für die Hilfe in Voraus.

Answer 1

Hallo,

für den Teil (a) ergibt sich die Hinrichtung aus

\( \langle u + av, u + av \rangle = \langle u, u \rangle + a^2 \langle v, v \rangle \geq \langle u, u \rangle \).

Die Rückrichtung folgt aus \( 0 \leq 2a \langle u, v \rangle + a^2 \langle v, v \rangle \). Mittels \( 0 \leq a^2 + 2 \frac{\langle u, v \rangle}{\langle v, v \rangle} a \) sieht man: Damit diese Ungleichung für alle \( a \) gilt, muss \( \langle u, v \rangle = 0 \) sein.

Bei Aufgabe (b) wählen wir \( U = P(V) \). Offensichtlich ist \( P(v) \in U \).

Wir wählen nun \( u \in U \) und \( v \in V \) beliebig und setzen \( v' = u + a(v - P(v)) \), wobei auch \( a \) beliebig sei. Es ist \( P(v') = P(u) + a(P(v) - P^2(v)) = u \), denn eine Projektion erfüllt \( P^2 = P \). Außerdem gilt \( P(u) = u \) für \( u \in P(V) \).

Aus \( ||u|| = ||P(v')|| \leq ||v'|| = ||u + a(v - P(v))|| \) für beliebige \( a \) folgt mit dem Ergebnis aus dem Aufgabenteil (a) schließlich, dass \( \langle u, P(v) - v \rangle = 0 \) ist.

Grüße

Mister

Comments

Hallo,

die letzte Überlegung verstehe ich nicht.

- Müsste nicht gezeigt werden: \( \forall x \in V: x-P(x) \perp P(v) \forall v \in V\)

- Die Begründung für das vorletze Gleichheitszeichen sehe ich nicht.

Gruß

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Hallo MathePeter,

das hast du richtig beobachtet, ich habe diesen Aufgabenteil angepasst.

Der Teil, auf den sich dein zweiter Punkt bezieht, kommt in der angepassten Aufgabe jetzt nicht mehr vor. Da stand etwas wie

\( \langle v, v \rangle - \langle v, P(v) \rangle = \langle 0, v - P(v) \rangle \),

was natürlich nicht stimmt und korrekt

\( \langle v, v \rangle - \langle v, P(v) \rangle = \langle v, v - P(v) \rangle \)

lauten muss.

Grüße

Mister