Zeigen Sie, dass I ein Ideal ist

Question

Sei I = {f ∈ R[X] | f(2) = f′(2) = 0}. Zeigen Sie, dass I ein Ideal ≠ {0} in R[X] ist, und bestimmen Sie den normierten Erzeuger.

könntet Ihr mir bei der Aufgabe bitte helfen?

Comments

Was ist ein Ideal?

Answer 1

Sind f und g aus I , dann gilt

(f+g)(2) = f(2) + g(2) = 0 + 0 = 0  und

(f+g) ' (2 ) = f ' (2) + g ' (2 ) = 0 +  0 = 0

also f+g ∈ I.

Ist f ∈ I und p ∈ R[x] dann gilt

(p*f) (2) = p(2) * f(2) = p(2) * 0 = 0

und

(p*f) ' (2) = p(2)*f'(2) + p '(2) * f(2) = p(2)*0 + p'(2) * 0 = 0 + 0 = 0

Also ist I ein Ideal. Und es nicht das 0-Ideal , da z.B.

(x-2)^2 ∈ I.

Vermutlich ist das auch der normierte Erzeuger.