Beweis oder Widerlegung einer Aussage (Folgen)

Question

Es soll folgende Aussage bewiesen oder widerlegt werden:

Es sei (a_n)n∈N ⊆ R gegeben mit der Eigenschaft: a_n+1 −a_n → 0 fur¨ n → ∞. Dann
folgt, dass (a_n)n∈N konvergent ist.

Hat jemand eine Idee wie das funktioniert?

Comments

Versuch mal die Folge \(a_n=\log n\).

Answer 1

Aloha :)

Wir prüfen die Behauptung mit der Folge \(a_n=\sqrt n\) nach:$$a_{n+1}-a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt n)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$$$\phantom{a_{n+1}-a_n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\frac{1}{\sqrt n}\to0$$Die Bedingung aus der Behauptung ist also erfüllt, aber \(a_n=\sqrt n\to\infty\).

Comments

Habs noch vor Abgabe selber hinbekommen :D Danke trotzdem für die ausführliche Antwort

Answer 2

Nimm doch mal an, a_{n+1}-a_n wäre 1/n und somit eine Nullfolge...