Zeigen Sie: Mit den üblichen Verknüpfungen + und ∗ für Matrizen ist Q ein Unterring von C2,2

Question

Hey ich bräuchte dringend Hilfe. Sitze schon eine weile an der Aufgabe und komme nicht weiter, wäre euch sehr dankbar.

Aufgabe:

Es sei:

Matrix \(Q:= \begin{pmatrix}a & -b \\\overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix} \quad a,b \in \mathbb{C}\)

( Das soll eine Matrix 2x2 Matrix darstellen, wobei das b und a, in der unteren Zeile, eine komplex konjugierte Zahl ist.)

Zeigen Sie: Mit den üblichen Verknüpfungen + und ∗ für Matrizen ist Q ein Unterring
C2,2.
 (Die Menge S heißt Unterring von (R,+,∗), wenn S ⊆ R und (S,+,∗) ein Ring ist.)

Answer 1

Von den Ringaxiomen musst du für den Unterring natürlich nicht alle

nachprüfen; denn sowas wie Assoziativität, Distributivität etc, gilt für alle, also auch im Unterring.

Zu prüfen ist

1. Abgeschlossenheit:  Seien also zwei Elemente von S:

 \(Q:= \begin{pmatrix}a & -b \\\overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix} \quad und  P:= \begin{pmatrix}c & -d \\\overline{d} & \overline{c} \end{pmatrix} \quad a,b,c,d \in \mathbb{C}\)

Dann ist deren Summe :

Q+P = \(= \begin{pmatrix}a+c & -b+(-d) \\\overline{b}+\overline{d} & \overline{a}+\overline{c} \end{pmatrix} \quad=\begin{pmatrix}a+c & -(b+d) \\\overline{b+c} & \overline{a+c} \end{pmatrix} \quad \)

Also auch wieder in S.

Entsprechend für die Multiplikation prüfen.

Dann muss noch das 0 Element in S sein (klar a=b=0 )

und zu jeder Matrix die additive und die multiplikative Inverse.

Comments

Dankeschön hab die jetzt endlich fertig.