Gerade, mit den Punkten A und B aufstellen, die auch eine Tangente an den Graphen von f ist

Question

Zeigen Sie: Für jede reelle Zahl r>0 ist die Gerade durch die Punkte A( -r | f(-r)) und B ( 2*r | f(2*r)) eine Tangente an den Graphen von f(x)=x^3-x im Punkt A

Answer 1

Tangentengleichung  yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=x³-x liegen soll

f´(x)=3*x³-1

Tangentengleichung ft(x)=(3*xo²-1)*(x-xo)+(xo³-xo)

ft(x)=(3*xo²-1)*(x-xo)+xo³-xo

Mit A(-r/f(-r) → xo=-r

Dann mit Punkt B(2*r/f(2*r)

eingesetzt in die Tangentengleichung

(2*r)³-2*r=(3*xo²-1)*(2*r-xo)+xo³-xo  mit xo=-1*r

Diese Gleichung muß dann aufgehen  r=... >0

Answer 2

Die Gerade durch die Punkte A( -r | f(-r)) und B ( 2*r | f(2*r)) hat die Steigung

\( \frac{f(2r)+f(-r)}{2r-(-r)} \) =3r²-1.

Das ist auch die Steigung von f(x) an der Stelle -r.