wohldefinierte Operation + (p, q),(p′, q′)∈M

Question

Aufgabe:

Sei M = N0×N0(natürliche Zahlen) und seien (p, q),(p′, q′)∈M.

Zeigen Sie, dass durch (p, q) + (p′, q′) := (p+p′, q+q′) auf M/∼ eine wohldefinierte Operation + definiert wird.

Zeige weiter, dass (M/∼,+) eine Gruppe ist.

Comments

Was ist M/∼  ???

Ist   ∼  eine Relation , aber welche ?

---

Stimmt, man muss die Relation ~ kennen, um über die Wohldefiniertheit von + auf M/~ zu entscheiden.

---

Es geht um diese Relation:

(p, q)∼(p′, q′):⇐⇒p+q′=p′+q.

---

Von anderer Version:

Titel: (M/~, +) sei wohldefiniert und Gruppe Beweis

Stichworte: gruppe,beweise,äquivalenzrelation,äquivalenzklassen

Hallo,

ich habe vermutlich eine recht einfache Frage, stehe aber einfach komplett auf dem Schlauch.

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei M=IN₀xIN₀ und seien (p,q),(p',q') Elemente aus M. Wir definieren (p,q)~(p',q') :⇔ p+q' = p'+q.

b) Zeigen Sie, dass durch [(p,q)] + [(p',q')] := [(p + p', q + q')] auf M/~ eine wohldefinierte Operation + definiert wird. Zeige weiter, dass (M/~, +) eine Gruppe ist.

zum Thema wohldefiniert: Mein Ansatz wäre, zwei Repräsentatenpaare aus jeder Äquivalenzklasse [(p,q)] und [(p',q')] zu wählen und dadurch zu zeigen, dass die Operation wohldefiniert ist. So wirklich weiter komme ich da allerdings auch nicht.

Bei der Überprüfung der Gruppenaxiome stehe ich bei der Existenz des Inversen vor Rätseln... das wäre doch eigentlich (-p,-q), aber das wäre auf M doch gar nicht definiert. Gibt es da andere "Regeln", da es sich um Äquivalenzklaasen handelt? Oder wo ist hier mein Denkfehler?

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Danke :)

---

Überschrift Teil der Fragestellung oder gar eine Voraussetzung für die Fragestellung?

---

Ich würde keine der beiden Frage löschen, weil der User hier in der Frage schon mitgewirkt hat und der andere User in der anderen Frage mitgewirkt hat.

Man müsste so gesehen beide Fragen bestehen lassen.

Answer 1

Hallo,

die Äquivalenzklassen der Relation ~ sind die Mengen \( M_n = \{(x, y=x+n)\} \). \( M_n \) ist die Menge aller Paare natürlicher Zahlen, deren Differenz \( n \) ist.

Wählen wir die Elemente \( (a, b) = (a, a+n) \in M_n \) und \( (a', b') = (a', a'+n') \in M_{n'} \) aus, so ist

\( (a, b) + (a', b') = (a, a+n) + (a', a' + n') \)
\(= (a+a', a+a'+n+n') \in M_{n+n'} \)

für alle \( a \) und \( a' \).

Das Ergebnis ist also für alle \( a, a' \) von den Repräsentanten \( (a, a+n), (a', a'+n') \) der Äquivalenzklassen \( M_n \) und \( M_{n'} \) unabhängig ein Repräsentant der Äquivalenzklasse \( M_{n+n'} \).

Wir wählen die veranschaulichende Schreibweise \( M_n + M_{n'} = M_{n+n'} \) und erkennen die Isomorphie von \( (M/\sim, +) \) zu \( (\mathbb{Z}, +) \).

Grüße

Mister

Comments

Wenn das isomorph ist, heißt es dann, dass es sich um eine Gruppe handelt?

---

Mir ist aufgrund deiner Nachfrage aufgefallen, dass \( (M/\sim, +) \) nicht zu \( (\mathbb{N}, +) \) isomorph ist, sondern zu \( (\mathbb{Z}, +) \). (In der Antwort ist es schon korrigiert.)

Da \( (\mathbb{Z}, +) \) eine Gruppe ist, kann man diese Eigenschaft auch für \( (M/\sim, +) \) folgern, wie du richtig bemerkst.

Hiervon ausgehend kannst du wiederum auf das neutrale Element und die Inversen in \( (M/\sim, +) \) schließen.

---

Hier erschließt sich auch der Sinn dieser Aufgabe, nämlich dass ℤ sich auf diese Weise aus den natürlichen Zahlen und mit Hilfe der auf den natürlichen Zahlen definierten Addition konstruieren lässt: Man identifziert n ∈ ℤ mit der Äquivalenzklasse M_n, das heißt n = M_n.

Answer 2

Mein Ansatz wäre, zwei Repräsentatenpaare aus jeder Äquivalenzklasse [(p,q)] und [(p',q')] zu wählen und dadurch zu zeigen, dass die Operation wohldefiniert ist.

Das ist doch gar nicht schlecht. Sei [(p,q)]=[(p',q')] und  [(u,v)]=[(u',v')], man wählt sich also jeweils zwei Vertreter und schaut sich dann die Summen an:

[(p,q)] + [(u,v)] =[(p+u,q+v)]

[(p',q')] + [(u',v')] =[(p'+u',q'+v')]

und jetzt muss man überprüfen, dass die Ergebnisse gleich sind:

[(p+u,q+v)] = [(p'+u',q'+v')]

<=> (p+u,q+v) ~ (p'+u',q'+v')

<=> p+u+q'+v' = p'+u'+q+v

Und diese Gleichheit musst du nun überprüfen, verwende (p,q) ~ (p',q') und (u,v) ~ (u',v').

Bei der Überprüfung der Gruppenaxiome stehe ich bei der Existenz des Inversen vor Rätseln... das wäre doch eigentlich (-p,-q), aber das wäre auf M doch gar nicht definiert.

Du vermutest [(0,0)] als neutrales Element oder? Welche Tupel liegen denn in dieser Restklasse? Findest du vielleicht einen anderen Vertreter von [(0,0)] - nennen wir ihn mal (x,y) - s.d. du natürliche Zahlen p', q' mit p+p'=x und q+q' = y finden kannst?

Comments

Erstmal vielen Dank für deine Nachricht!

Sei [(p,q)]=[(p',q')] und  [(u,v)]=[(u',v')]

Sind die Vertreter auch wieder Restklassen? Mich verwirren die [ ] ein bisschen, da ich dachte, ich wähle zum Beispiel:

(a,b), (b,c) Elemente aus [(p,q)] und (e,f), (g,h) Elemente aus [(p',q')] und geht dann so vor, wie Du oben beschrieben hast?

Du vermutest [(0,0)] als neutrales Element oder? Findest du vielleicht einen anderen Vertreter von [(0,0)]

Ja, genau, im Gruppenaxiom 2 komme ich auf [(0,0)] als neutrales Element.

Ich verstehe deinen Ansatz! Wenn ich jetzt konkrete Zahlen hätte, würde ich einen Vertreter von [(0,0)] wählen, sodass ich eben durch modulo m wieder die Restklasse [(0,0)] hätte, wenn du verstehst was ich meine?

Leider verstehe ich das in dieser abstrakten Formulierung nicht so wirklich. Könnten [(p,q)], [(2p,2q)] Vertreter dieser Restklasse sein? (Wäre nur eine Vermutung...)

---

...da ich dachte, ich wähle zum Beispiel:

(a,b), (b,c) Elemente aus [(p,q)] und (e,f), (g,h) Elemente aus [(p',q')] und geht dann so vor, wie Du oben beschrieben hast?

Vollkommen richtig. Mit "[(p,q)]=[(p',q')]" meine ich aber genau das: Ich betrachte eine Äquivalenzklasse und von dieser die beiden Vertreter (p,q) und (p',q').

Unsere Wege unterscheiden sich also nicht.

Wenn ich jetzt konkrete Zahlen hätte, würde ich einen Vertreter von [(0,0)] wählen, sodass ich eben durch modulo m wieder die Restklasse [(0,0)] hätte, wenn du verstehst was ich meine?

Nicht so ganz :D

(0,0) ~ (1,1) ~ (2,2) ...

Siehst du wo das hinführt?

Wenn du jetzt z.B. (p,q)=(0,2) betrachtest, dann gilt für ein inverses Element:

[(0,2)] + [(p',q')] = [(0,0)] = [(2,2)]

also klappt vielleicht p' = 2 und q' = 0?

Versuche das mal zu verallgemeinern.

---

Vollkommen richtig. Mit "[(p,q)]=[(p',q')]" meine ich aber genau das: Ich betrachte eine Äquivalenzklasse und von dieser die beiden Vertreter (p,q) und (p',q').

Stimmt, das macht natürlich Sinn, danke :D

Versuche das mal zu verallgemeinern

Wenn ich das jetzt verallgemeiner, komme ich auf [(0,q)] und [(p',0)], bzw. andersrum funktioniert das ja genauso. Heißt, es müsste gelten: q=0, p'=0 oder p=0 und q'=0, oder? Und dann auch je nachdem q=p' pder p=q'?

Wie formulier ich das dann im Beweis?

---

Das geht in eine falsche Richtung!

Was ist das Inverse zu [(1,2)] was zu  [(127,42)]?

---

Hm, kann es sein, dass "nur" gelten muss: q=p' und p=q', da man damit immer in einem Vertreter der Äquivalenzklasse [(0,0)] landet, da p+p'=q+q'?

---

Ja genau zu [(p,q)] ist das Inverses [(q,p)]

---

Da hätte man wohl draufkommen können :D vielen vielen Dank!