Begrifflichkeit Ortsvektor verwirrend. Ist es falsch von nur einem Ortsvektor zu sprechen?

Question

Ist es falsch von nur einem Ortsvektor zu sprechen?

Müsste man nicht eigentlich sagen, es gibt einen Punkt P in einem festgelegten Koordinatensystem. Der eine Pfeil, der Ursprung und P verbindet ist der „Ortspfeil“. Er ist ein Repräsentant der Pfeilklasse u (als Beispiel).

Mit „Ortsvektor“ wird meiner Meinung nach nur genau der eine Pfeil gemeint.

Das widerspricht aber dem Begriff des Vektors. Oder?

Comments

Schau dir mal die Einführung zu den Vektoren an: https://www.matheretter.de/wiki/vektoren

Dann verstehst du, was einen Vektor ausmacht.

Da folgt auch der Ortsvektor sowie andere Vektornamen: https://www.matheretter.de/wiki/ortsvektor

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Naja, das beantwortet ja aber meine Frage nicht wirklich.

Wenn man z.b. eine Geradengleichung durch Vektoren angibt, verwendet man ja als Stützvektor einen Ortsvektor.

Man benötigt aber ja jetzt genau den Repräsentanten (Pfeil), der am Ursprung ansetzt und nicht die gesamte Pfeilklasse...

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Der Begriff "Ortsvektor" hat weniger mit seiner Geometrie als mit der Funktion des Vektors zu tun. Das gilt auch für andere Bezeichnungen.

Answer 1

Vielleicht ist es klarer wenn man sagt Vektoren können grundsätzlich 2 verschiedene Bedeutungen haben.

Die eine Bedeutung ist der Ortsvektor. Dann zeigt ein Vektor genau zu dem Punkt, der die Koordinaten hat welche der Vektor angibt.

Die andere Bedeutung ist ein Richtungsvektor. Dann zeigt der Vektor nur in eine Bestimmte Richtung mit einer bestimmten Länge.

Einem einzelnen Vektor kann man ohne einen Sachkontext nicht ansehen welche Bedeutung er hat. Daher gelten bei der Bezeichnung mit Buchstaben folgende konventionen.

Ortsvektoren die zu einem Punkt A, B oder C weisen werden als OA, OB, OC oder a, b, c mit Vektorpfeil geschrieben.

Richtungsvektoren die z.B. von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B oder C zeigen werden als AB oder AC aber auch u oder v mit Vektorpfeil geschrieben.

Hier entdeckt das findige Auge einen Schönheitsfehler im System. Da Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil offensichtlich für Ortsvektoren als auch Richtungsvektoren stehen können.

Daher verwende ich abweichend für Ortsvektoren einfache Großbuchstaben mit Vektorpfeil. Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil stehen dann für Richtungsvektoren.

Der Konvention halber schreibe ich allerdings den Ortsvektor x in Parameterformen von Geraden und Ebenen auch als kleines x mit Vektorpfeil.

Ausnahmen bestätigen bei mir diese Regel. So setze ich am PC für mich persönlich keine Vektorpfeile ein. Und dann schreibe ich auch oft den Vektor X als Großbuchstaben um eine Verwechslung mit der x-Koordinate x zu vermeiden.

Vektoren werden auch noch anders bezeichnet.

Z.B. werden Ortsvektoren in einer Geradengleichung auch als Stützvektoren bezeichnet.

Richtungsvektoren die bestimmte Punkte verbinden werden auch als Verbindungsvektoren, Richtungsvektoren in einer Ebenengleichung werden auch als Spannvektoren bezeichnet.

Comments

Dann ist es richt, dass ein Ortsvektor kein VEKTOR im eigentlichen Sinne ist.

Sprich ein Ortsvektor ist keine Klasse an Pfeilen, sondern genau der, der am Ursprung ansetzt.

Gegeben sei P (p1/p2) = (p1-0/p2-0).

Sei weiter u ein Vektor mit u = (p1/p2).

Als Ortsvektor "definiert" man jetzt genau den Pfeil OP, welcher ein Repräsentant von u ist und am Koordinatenursprung ansetzt.

Sprich: OP= (p1-0/p2-0) = (p1/p2) = u  ?

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Ein Ortsvektor ist ein Vektor mit einer bestimmten Bedeutung für uns.

Wir gesagt dem Vektor v = [2, 3] siehst du so nicht an in welcher Bedeutung er später gebraucht wird. Das ist für uns einfach nur ein Vektor. Grundsätzlich also die Pfeilklasse die irgendwo in der x-y-Ebene beginnt und dann 2 Einheiten in x und 3 Einheiten in y-Richtung zeigt.

Später in der Aufgabe wird vielleicht klar wie der Vektor gebraucht werden soll.

Das Viereck ABCD wird um den Vektor v verschoben. Geben sie die Bildpunkte A', B', C' und D' des neuen Vierecks an.

Die weiteren Informationen schränken jetzt die Bedeutung des Vektors ein. Offensichtlich ist jetzt nicht der Ortsvektor gemeint sondern als Verschiebungsvektor eine bestimmte Richtung und Länge.

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Bleiben wir bei deinem Vektor. v=(2,3). Sei weiter u ein beliebiger Richtungsvektor.

Jetzt sei P (2,3) in Punkt in der Zeichenebene.

Wenn jetzt die Gleichung der Geraden g gesucht ist, die durch den Punkt P geht und den Richtungsvektor u besitzt, fassen wir v als Ortsvektor von P auf.

JETZT müssen wir aber doch definitiv (zumindest erwähnen), dass mit OrtsVEKTOR jetzt tatsächlich genau der Pfeil gemeint ist, der an KO ansetzt.

Falls wir das nicht dazu sagen, könnte der Vektor v doch überall ansetzen und wir bekommen eine andere Punktmenge?

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JETZT müssen wir aber doch definitiv (zumindest erwähnen), dass mit OrtsVEKTOR jetzt tatsächlich genau der Pfeil gemeint ist, der an KO ansetzt.

Was ist hier mit KO gemeint ?

Die Geradengleichung die durch die Punkte P und Q geht lautet ja.

X = P + r * PQ

P ist dabei der Ortsvektor vom Punkt P und PQ ein beliebiger Richtungsvektor.

Allerdings. Addiert man 2 Vektoren zeichnerisch, dann hängst man zeichnerisch an den ersten Vektor den zweiten dran. D.h. das vielfache vom Richtungsvektor PQ wird automatisch an die Pfeilspitze vom Ortsvektor P angefügt und liegt nicht irgendwo im Koordinatensystem.

Du solltest vielleicht ein paar Übungen zur Addition von Vektoren machen.

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Ich glaube, dass meine eigentliche Frage nicht wirklich rüberkommt...

Alles was hier geschrieben wird, ist mir klar.

Ich reibe mich lediglich an der Begrifflichkeit des Ortsvektors.

Für mich widersprechen sich der Begriff Vektor (Pfeilklasse) und Ortsvektor (ein FESTER Pfeil).

Wie du selbst sagt, braucht man für die Geradengleichung genau den Repräsentanten des Vektors v, welcher am Koordinatenursprung ansetzt. Dieser wird jetzt Ortsvektor genannt, ist ja aber streng genommen kein Vektor, da er eben keine Klasse, sondern ein spezieller Repräsentant (Pfeil) des Vektors ist.

Darum geht es mir eigentlich. Um dieses Paradoxon.

Ist das jetzt klarer geworden ? :(

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Ich versuche es mal mit einer Grafik.

Der Pfeil a= (2,2) ist erstmal ein Repräsentant der Pfeilklasse aller Pfeile, die parallel, gleich gerichtet und gleichlang sind. Somit ist a ein allgemeiner Vektor.

Jetzt sei P (2,2) ein Punkt in der Zeichenebene. a ist somit auch Ortsvektor von P.

Ist es jetzt Konvention, dass, wenn vom Ortsvektor d=a gesprochen wird, immer nur d gemeint ist? Also der Spezialfall des Vektors, der am Koordinatenursprung ansetzt? Das würde eure Sicht und Antwort auf meine Frage erklären.

Genauso könnte man ja jetzt zwei weitere Punkte Q und S wählen, mit z.B. Q(8,4) und S (10,6).

Dann ist der Vektor a auch der Verbindungsvektor der Punkte Q und S also a=QS. In diesem Fall spricht man ja auch von einem VerbindungsVEKTOR meint aber zunächst den Pfeil, der Q und S verbindet. Dieser ist aber natürlich auch wieder ein Repräsentant von a.

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Ich gebe dir völlig recht (siehe auch meine aktuelle Antwort).

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Für mich widersprechen sich der Begriff Vektor (Pfeilklasse) und Ortsvektor (ein FESTER Pfeil).

Grundsätzlich ist ein Vektor doch nur eine Zusammenfassung mehrerer reeller Zahlen zu einem mathematischen Gebilde ähnlich wie ein Tupel.

Weil es bei Vektoren grundsätzlich erstmal nur um eine Richtung und Länge geht, die in Anteile parallel zu den jeweiligen Koordinatenachsen ausgelegt sind braucht man nur im dreidimensionalen Raum nur 3 Komponenten.

Meist sagt man auch nicht ein Vektor ist eine Pfeilklasse sondern man kann sich Vektoren als eine Pfeilklasse vorstellen.

Der Pfeil ist also nur eine Interpretation von einem Vektor, damit man ihn sich besser vorstellen kann.

Da ein Vektor erstmal nur eine Richtung und Länge hat ist er beliebig im Koordinatensystem plazierbar. Ein Vektor enthält also grundsätzlich keine Angabe wo er beginnt.

Diese Angabe interpretieren wir im Kontext. Wenn wir von Ortsvektoren sprechen, dann sprechen wir in der Vorstellung von genau den Pfeilen die im Ursprung beginnen und an einem bestimmten Punkt enden.

Du kennst vielleicht auch das man Zahlen in mehrerer Hinsicht interpretieren kann. Die 3 könnte z.B. der Ort auf dem Zahlenstrahl sein. In 3 + 3 bedeutet die erste 3 den Ort auf dem Zahlenstrahl und die zweite 3 aber die richtung und die weite die man nach rechts gehen muss. Das Ergebnis die 6 gibt an wo man endet wenn man von der 3 aus gesehen 3 Schritte nach rechts geht.

Das eine gibt also einen Ort an und das andere eine Richtung und eine Länge.

Dieses Prinzip welches du bereits in der Grundschule kennenlernen durftest wird jetzt nur etwas erweitert. Man befindet sich also nicht nur auf einem Zahlenstrahl sondern in einem zwei oder dreidimensionalen Koordinatensystem. Davon ab sind die Vektoren aber nicht nur für 2 oder 3 dimensionale Angaben gemacht sondern ein Vektor kann prinzipiell auch aus 1000 Komponenten bestehen. Und die Interpretation müssen nicht nur Pfeile sein. Sondern es können 1000 Produkte sein die wir in unserer Firma anbieten und die Monatsverkäufe ließen sich dann als Vektor darstellen. Ich könnte auch die einzelnen Monatsverkäufe gemäß der Vektorrechnung addieren und erhielte dann meinen Jahresverkauf. Lös dich davon das Vektoren nur Pfeile sind oder nur eine Pfeilklasse. Die Pfeilklasse ist nur eine Interpretation.

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Wenn wir von Ortsvektoren sprechen, dann sprechen wir in der Vorstellung von genau den Pfeilen die im Ursprung beginnen und an einem bestimmten Punkt enden.

Das war ja genau mein Frage! :)

Vielen Dank an alle Beteiligten!

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Das war ja genau das was ich bereits in meiner ersten Antwort mitgeteilt hatte

Die eine Bedeutung ist der Ortsvektor. Dann zeigt ein Vektor genau zu dem Punkt, der die Koordinaten hat welche der Vektor angibt.

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Naja, die Aussage unterscheidet sich für mich ein wenig von:

Wenn wir von Ortsvektoren sprechen, dann sprechen wir in der Vorstellung von genau den Pfeilen die im Ursprung beginnen und an einem bestimmten Punkt enden.

Und in der ersten Aussage war es:

Die eine Bedeutung ist der Ortsvektor. Dann zeigt ein Vektor genau zu dem Punkt, der die Koordinaten hat welche der Vektor angibt.

Da wäre ja wieder ein Pfeil mit dem gesamten Vektor gleichgestellt...

Answer 2

Aloha :)

Ein Orstvektor ist ein Vektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht. Im Gegensatz zu Vektoren sind Ortsvektoren daher nicht beliebig im Raum verschiebbar. Die Komponenten eines Ortsvektors und die Koordinaten des Punktes an seiner Spitze sind identisch, was bei einem Vektor in der Regel nicht der Fall ist. Daher finde ich den Begriff "Ortsvektor" sogar sehr treffend.

Du schreibst es ja am Ende selbst:

Mit Ortsvektor wird ja tatsächlich nur genau der EINE PFEIL gemeint.
Das widerspricht aber ja dem Begriff VEKTOR.

Gerade deswegen ist der Begriff "Ortsvektor" ja zu Unterscheidung von einem "Vektor" sinnvoll, oder?

Comments

Ich finde, das hängt davon ab, wie Vektor definiert wird oder?

Wenn man als Vektor u geometrisch alle Pfeile versteht, welche

- die gleiche Länge haben

- parallel sind

- in die gleiche Richtung zeigen,

dann ist der Begriff OrtsVEKTOR verwirrend, da der PFEIL, um den es ja eigentlich geht, eben nur ein Repräsentant des Vektors ist.

Ortsvektor ist für mich eigentlich wieder eine Klasse an Vektoren. Das steckt für mich im Wort Vektor.

Aber vielleicht verstehe ich dieses dann auch falsch...

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Ein Orstvektor ist ein Vektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht.

Für mich wäre es irgendwie "richtiger" zu sagen:

Der Ortsvektor ist ein Vektor u, dessen Koordinaten genau die Koordinaten vom Punkt P sind. Wenn man nun von DEM Ortsvektor im geometrischen Sinne spricht, der im Koordinatenursprung ansetzt und zum Punkt P zeigt, dann beschränkt man sich ja auf genau den einen Pfeil, der OP verbindet.

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Deine Formulierung:

Der Ortsvektor ist ein Vektor u, dessen Koordinaten genau die Koordinaten vom Punkt P sind.

ist äquivalent zu meiner:

Ein Orstvektor ist ein Vektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht.

Daher kann man darüber nicht streiten ;)

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Ja, da hast du recht.

Aber wie sieht es mit dem zweiten Teil meines Erklärungsversuchs aus?

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Ein Orstvektor ist ein Vektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht.
Daher kann man darüber nicht streiten ;)

Doch, darüber sollte man streiten (vor allem, wenn es falsch ist).

Wenn ein Vektor nun mal als Klasse von unendlich vielen Pfeilen mit den bewussten drei Eigenschaften definiert ist, dann muss sich auch der OrtsVEKTOR (wenn er wirklich OrtsVEKTOR sein will und nicht "Ortsbratkartoffel" oder Ähnliches) dieser Definition unterwerfen.

Der Ortsvektor des Punktes (5|2) ist der Vektor \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \) .

Fertig.

Und der Vektor  \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \) hat keinesfalls den Zwang, "im Ursprung zu beginnen".  Der Vektor  \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \) -und damit der Ortsvektor von  (5|2)- wird auch repräsentiert durch einen Pfeil, der im Punkt (8|20) beginnt und im Punkt (13|22) endet.

Richtig ist, dass einer der unendlich vielen Repräsentanten des Ortsvektors von  (5|2) ein im Ursprung beginnender Pfeil ist.

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DANKE! Endlich versteht meinen Ansatz jemand.

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Und genau DIESEN Pfeil meint man jetzt doch, wenn man die Geradengleichung durch den Punkt P definiert, oder nicht?

Answer 3

Dann sprich halt meinetwegen vom "Ortspfeil" eines Punktes.

Im Übrigen muss man ja weder päpstlicher als der Papst noch euklidischer als Euklid sein.

Answer 4

Als Ortsvektor bezeichnet man einen Vektor,der seinen Anfang im Ursprung P(0/0/0) hat.

Man kann den Ursprung als Ort bezeichenen,von dem alles ausgeht.

Comments

Deine Idee würde ich ziemlich anders formulieren:

Der Ursprung  O (0|0|0) ist ein Fixpunkt im Koordinatensystem. Um den Ort (die Lage) eines beliebigen Punktes P  im Raum ℝ³  festzulegen, kann man den sogenannten "Ortsvektor des Punktes P" angeben, welcher (beispielsweise) durch den Pfeil OP  repräsentiert wird.

Der "Ortsvektor" bleibt bei dieser Sprechweise durchaus ein Vektor im eigentlichen Sinn (auch des Fragestellers), der auch durch andere "Pfeile" repräsentiert werden könnte.

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Ja das spielt in meinen Sinn des Ortsvektors.

Dann muss der "Ortsvektor" eines Punktes P, welcher als Stützvektor einer Geraden durch den Punkt P benutzt wird, auch tatsächlich dieser eine Repräsentant sein, der auch tatsächlich beim Ursprung beginnt oder?

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Oder vielmehr ist es mit dieser Betrachtung sogar egal, welchen Repräsentanten man als "Stützpfeil" wählt.

g: OX=OP+r*PQ ist die Menge aller Punkte, dessen Ortsvektoren durch die Summe

dargestellt werden können. Sprich OX ist wieder ein so genannter Ortsvektor. Dessen Repräsentanten können wieder überall in der Ebene oder im Raum beginnen.

Wählt man nun allerdings den Repräsentanten des Ortsvektors OX, welcher am Koordinatenursprung beginnt (und nur das ergibt für die Punktmenge der Geraden Sinn) endet der Pfeil OX genau am entsprechenden Punkt der Geraden g.

So wäre es sogar möglich, die Gerade zu einem anderen Bezugspunkt des Raumes oder der Ebene zu verschieben, indem man den allgemeinen Repräsentanten des Vektors OX wählt, der an einem beliebigen Punkt T ansetzt.

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Steht so in meinen Unterlagen.

1) gegeben: ein x-y-Koordinatensystem

2) Punkt A(2/3)

Vektor a(2/3) hat seinen Anfang im Ursprung des x-y-Koordinatensystems

bei P(0/0)

Auch wird in meinen Unterlagen so ein Vektor als Ortsvektor bezeichnet.

Bei einer Dreipunktgleichung der Ebene E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

sind dann die Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) und c(cx/cy/cz) einfach nur Vektoren