Bestimme die Koordinatengleichungen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Koordinatengleichungen der Parallelebenen zur Ebene E im Abstand d.

E: 9x + 12y + 8z -6=0 und d=2

Hallo,ich brauche eureHilfe, um diese Aufgabe zu lösen.

Danke euch

Answer 1

Kleiner Tipp: Welchen Normalenvektor hat diese Ebene (ebenso wie die gesuchte Parallelebene), und welchen Betrag hat der Normalenvektor?

Answer 2

Aloha :)

Den Normalenvektor \(\vec n=(9|12|8)^T\) hat die Länge \(\sqrt{9^2+18^2+8^2}=\sqrt{289}=17\). Wir können ihn daher normieren:$$\vec n_0=\frac{1}{17}\begin{pmatrix}9\\12\\8\end{pmatrix}$$Wir suchen uns nun einen Punkt auf der vorhandenen Ebene, etwa \(P(0|0,5|0)\) und schreiten den Normalenvektor \(\pm2\,\mathrm{LE}\) entlang, um jeweils einen Punkt \(P_1\) und \(P_2) auf den beiden Parallelebenen im Abstand 2 zu erhalten.

$$\vec p_1=\vec p+2\vec n_0=\begin{pmatrix}0\\0,5\\0\end{pmatrix}+\frac{2}{17}\begin{pmatrix}9\\12\\8\end{pmatrix}$$$$\vec p_2=\vec p-2\vec n_0=\begin{pmatrix}0\\0,5\\0\end{pmatrix}-\frac{2}{17}\begin{pmatrix}9\\12\\8\end{pmatrix}$$Damit lauten die Ebenengleichungen:

$$E_1:\,\vec n_0\cdot\vec x=\vec n_0\cdot\vec p_1=\vec n_0\cdot\left(\vec p+2\vec n_0\right)=\vec n_0\cdot\vec p+2\vec n_0^2=\vec n_0\cdot\vec p+2$$$$E_1:\,17\,\vec n_0\cdot\vec x=17\,\vec n_0\cdot\vec p+34$$$$E_1:\,\vec n\cdot\vec x=\vec n_0\cdot\vec p+34$$$$E_1:\,9x+12y+8z=6+34$$Nach analoger Rechnung mit \(-2\) anstatt \(+2\) finden wir beide Ebenen:$$E_1:\,9x+12y+8z=40\quad;\quad E_2:\,9x+12y+8z=-28$$

Comments

Drei kleine Korrekturen (wenn ich die Aufgabe richtig lese und interpretiere):
Der  Abstand soll nicht 4, sondern 2 sein.

Die gesuchte Ebene soll den Abstand 2 nicht zum Ursprung, sondern zur gegebenen Ebene haben.

Es gibt nicht "DIE" Parallelebene mit diesem Abstand. Es gibt deren zwei.

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Danke dir, abakus ;)

Ich habe offenbar nicht genau genug gelesen.

Meine Antwort habe ich korrigiert.