Dimension aller stetigen Funktionen f: R zu R

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Dimension folgender Untervektorräume U des R- Vektorraumes aller stetigen Funktionen f: R → R

$$ a) U = \langle sin(x), e^{x}, x^{2} \rangle_{\mathbb{R}} $$
Problem/Ansatz:

Wenn ich die lineare Unabhängigkeit für x=0 zeige, mit

$$ r * sin(x) + s * e^{x}+ t * x^{2} = 0 $$

dann komm ich auf r = s = t = 0. Und somit sind sie linear unabhängig und die Dimension ist 3 oder? Bin ich hier richtig vorgegangen? Und muss ich dann noch die Dimension für allen weiteren x zeigen?

Answer 1

Hallo

1. für x=0 hast du mit r,t  beliebig s=0 eine Lösung.

 allerdings ist das nur für das x eine Lösung, für andere x gibt es auch Lösungen, aber die Lösung muss ja für die Funktionen also für ALLE x gelten, du musst also zeigen, dass de Lösung für ein spezielles x, die es immer gibt nie für alle, oder schon für ein einziges anderes nicht gilt. d.h. du hast kein ras,t≠0 für alle xx, ja und dann ist die Dimension 3,

Gruß lul

Comments

Und wie geh ich da genau vor, wenn ich es für alle x bestimmen möchte? Also ich soll zeigen, dass für alle x; r,s und t ≠ 0 sind? Und dadurch wird dann gezeigt, dass die Dimension 3 ist?