Stetigkeit der Funktion f(x)= x/|x|, mit x != 0 und f(0) = 0

Question

Meine Aufgabe lautet:

Geben Sie die Menge aller Punkte im Definitionsgebiert D an, an denen $f$ stetig ist.

Gegeben sind:

D, die Domäne := $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, mit $f(x):=\frac{x}{|x|}$ für $x \ne 0$ und $f(0) = 0$.

Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass ich nicht genau weiß wie man an diese Aufgbe rangehen soll. Mich persönlich verwirrt das $x \ne 0$ und $f(0) = 0$. Eine Idee wäre es diese Aufgabe mit dem $\varepsilon - \delta$- Kriterium zu lösen.

Grüße Matlab4Life

Answer 1

hallo

 die funktion ist eben für x=0 anders definiert als im restlichen Gebiet.

 schreibe die Funktion für x<0 und x>0 hin, dann sieht man direkt, dass sie bei x=0 unstetig ist, Weill der linksseitige u nd der rechtzeitige GW verschieden und ungleich dem Funktionswert sind. sonst überall stetig.

Gruß lul

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Danke Sehr :)

Answer 2

Für x>0 gilt f(x)=1 und für x<0 f(x)=-1, das ist offensichtlich stetig. Du musst jetzt überprüfen, ob sich f in 0 stetig fortsetzen lassen kann, wenn man f(0):=0 setzt. Dafür bildest du den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert und schaust, ob diese Werte übereinstimmen. Da allerdings $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1\neq -1=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}$, lässt sich $f$ dort nicht stetig fortsetzen.

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Danke Sehr :)