Koeffizienten eines Polynoms bestimmen (LGS)

Question

Aufgabe:

Wie lauten die Koeffizienten des Polynoms P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵, wenn für P(x) folgendes gilt: 1.) P(x) ist eine ungerade Funktion, 2.) der Graph von P(x) hat links und rechts der y-Achse jeweils an genau einer Stelle eine waagerechte Tangente, 3.) der Graph von P(x) hat einen Wendepunkt bei x₀=1 und 4.) die Wendetangente verläuft durch den Punkt (0;−2), der nicht auf dem Graphen von P(x) liegt.

Problem/Ansatz:

Da der Wendepunkte und die Wendetangente denselben x-Wert haben, würde ich behaupten, dass die Wendetangente die y-Achse ist, richtig?

Für den Wendepunkt gilt dann ja Folgendes:

P(0) = 1
P''(0) = 0

Und links von der y-Achse wird wohl ein Hochpunkt und rechts von der y-Achse ein Tiefpunkt sein.

Viel weiter komme ich derzeit leider nicht.

Kann mir da jemand bei helfen?

Vielen Dank!

Answer 1

1.) P(x) ist eine ungerade Funktion,  ==>   a0=a2=a4=0

 2.) der Graph von P(x) hat links und rechts der y-Achse jeweils an genau einer Stelle eine waagerechte Tangente, 
==>  Es gibt genau ein x > 0  und ein x < 0 mit   f ' (x) = 0 

3.) der Graph von P(x) hat einen Wendepunkt bei x0=1 und  ==>   f ' ' (1) = 0

4.) die Wendetangente verläuft durch den Punkt (0;−2), der nicht auf dem Graphen von P(x) liegt.

(-2 - f(1) )  / ( 0 - 1 ) =  f ' ( 1)  ==>   2 + f(1) ) =  f ' ( 1)

mit f(x) =  ax  + bx^3  + cx^5   und f ' (x) = a + 3bx^2 + 4cx^4 und f ' ' (x) = 6bx + 16cx^3

gibt 3) also       6b + 16c = 0 ==>    c = (-3/8)b

           f(x) =  ax  + bx^3  + (-3/8)bx^5   und f ' (x) = a + 3bx^2 - (3/2)bx^4 und   f ' ' (x) = 6bx -6bx^3   

==>  f(1) = a + (5/8)b    und f ' (1) = a + (3/2)b

also ergibt 4.)       2 + a + (5/8)b =  a + (3/2)b

                                    2  =  (7/8)b

                                  16/7 = b   

Somit wird f'(x)=0 zu     a + (48/7)x^2 - (48/14)x^4  = 0

Für a=-24/7 hat das genau zwei Lösungen, nämlich +1 und -1.

Also ist das der gesuchte Wert für a.