Berechnen Sie die orthogonale Projektion von \vec{a} in Richtung von \vec{b} .

Question

Im Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) sind die beiden Vektoren gegeben:
$$ \vec{a}=\left(\begin{array}{r} -3 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) $$
Berechnen Sie die orthogonale Projektion von \( \vec{a} \) in Richtung von \( \vec{b} \).
angegeben.
$$ \overrightarrow{a_{b}}= $$

Mir ist nicht bekannt wie man hier auf die Lösung kommt, könnte mir jemand ein Lösungsweg zeigen

Answer 1

Hallo

 weisst du, was das Skalarprodukt berechnet? die orthogonal Projektion mal Betrag von b!

Gruß lul

Answer 2

([-3, 4, -1]·[2, 2, -3])·[2, 2, -3]/[2, 2, -3]^2 = [10/17, 10/17, - 15/17]

Answer 3

Aloha :)

Der Vektor \(\vec a\) soll auf \(\vec b\) projeziert werden. Dazu musst du im Prinzip, den Vekor \(\vec a\) 2-mal mit dem Einheitsvektor \(\vec b\,^0\) multiplizieren. Bei der ersten Multiplikation erhältst du eine Zahl, nämlich die Länge der Projektion von \(\vec a\) auf \(\vec b\). Die zweite Multiplikation macht aus dieser Länge wieder einen Vektor, der parallel zum Vektor \(\vec b\) verläuft. Lange Rede, kurze Rechnung:$$\left\|\vec b\right\|=\sqrt{2^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{17}$$$$\vec a_\parallel=\left(\vec a\cdot\vec b\,^0\right)\cdot\vec b\,^0=\left[\begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\right]\cdot\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$$$$\phantom{\vec a_\parallel}=\frac{1}{17}(-6+8+3)\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}=\frac{5}{17}\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}$$