Aloha :)$$\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\quad;\quad\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$zu a) Ableitungen:
$$\sinh'(x)=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^{x}-e^{-x}\cdot(-1)}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$$$$\cosh'(x)=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^{x}+e^{-x}\cdot(-1)}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$$
zu b) "Pythagoras":
$$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2$$$$=\frac{e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2e^xe^{-x}+e^{-2x}}{4}=\frac{4e^xe^{-x}}{4}=1$$
Geometrisch bedeutet dies, dass sich die Hyperbel \(x^2-y^2=1\) durch$$\binom{x}{y}=\binom{\cosh(x)}{\sinh(x)}$$parametrisieren lässt.
zu c) Umkehrfunktion:
Da \(\cosh(x)\ge1\) ist, wird die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(\mathbb D=\mathbb R^{\ge1}\) sein:$$\left.x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2x=e^{y}+e^{-y}\quad\right|\;\cdot e^y$$$$\left.2x\,e^y=e^{2y}+1\quad\right|\;-2x\,e^y$$$$\left.e^{2y}-2x\,e^y+1=0\quad\right.$$$$\left.e^{2y}-2x\,e^y+x^2-x^2+1=0\quad\right.$$$$\left.\left(e^y-x\right)^2-x^2+1=0\quad\right|\;+x^2-1$$$$\left.\left(e^y-x\right)^2=x^2-1\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$Da die \(\cosh\)-Funktion achsensymmetrisch ist, wählen wir für die Umkehrfunktion den Zweig rechts von der \(y\)-Achse, also hier die positive Wurzel:$$\left.e^y-x=\sqrt{x^2-1}\quad\right|\;+x$$$$\left.e^y=x+\sqrt{x^2-1}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.y=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\right.$$$$\operatorname{arcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad;\quad x\ge1$$
Die Umkehrfunktion von \(\sinh(x)\) ergibt sich nach ähnlicher Rechnung, wobei allerdings weniger Besonderheiten zu beachten sind. Ich führe die Rechnung hier nicht mehr explizit vor, wenn du Hilfe dazu benötigst, melde dich bitte einfach nochmal. Das Ergebnis ist:$$\operatorname{arsinh(x)}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
