Eigenschaften einer Exponentialfunktion

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=0,5e^x-2x

1. Berechnen Sie die Lage des Minimums der Funktion f mit Hilfe der Differentialrechnung.

2. Zeigen Sie, dass f keine Wendepunkte besitzt.

3. Begründen Sie mittels Grenzwertbetrachtung, dass f Nullstellen besitzen muss.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f(x)=0,5e^x-2x

1. Berechnen Sie die Lage des Minimums der Funktion f mit Hilfe der Differentialrechnung.

f ´( x ) = 0.5 * e^x - 2
Stellen mit waagerechter Tangente
0.5 * e^x - 2 = 0
e^x = 4
x = ln ( 4 )

2. Zeigen Sie, dass f keine Wendepunkte besitzt.

f ´´ ( x ) = 0.5 * e^x
Wendepunkt
0.5 * e^x = 0 
keine Lösung
e^x ist stets positiv

Krümmung an Stelle mit waagerechter Tangente
f ´´ ( ln(4) ) = 0.5 * e ^(ln 4)) = 4
Die Krümmung ist positiv also Tiefpunkt.

3. Begründen Sie mittels Grenzwertbetrachtung, dass f Nullstellen besitzen muss.

Muß jetzt einkaufen.

Die Funktion ist bei unendlich und minus unendlich
positiv. Beim Minimum ( 4 | -0.77 ) negativ.
Die Funktion muß also die x-Achse geschnitten
haben.

Answer 2

1. Berechnen Sie die Lage des Minimums der Funktion f mit Hilfe der Differentialrechnung.

f '(x)=0,5e^x-2; 0=0,5e^x-2; e^x=4; x=ln(4). Hier liegt ein Extremum (bei genauerer Betrachung das Minimum).

2. Zeigen Sie, dass f keine Wendepunkte besitzt.

f ''(x)=0,5ex; 0,5ex hat keien Faktor, der Null werden kann. Also keine Wendepunkte.

3. Begründen Sie mittels Grenzwertbetrachtung, dass f Nullstellen besitzen muss.

für x→±∞ sind die Funktionswerte positiv. Für x=2 ist der Funktionswert negativ, die Funktion ist stetig und hat daher 2 Nullstellen.