Wie beweise ich, dass es genau einen nicht-trivialen Untermodul gibt!

Question

Aufgabe:

Es sei
$$B:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$
und $M_{B}:=\mathbb{R}^{2}$ sei $\mathbb{R}[X]$-Modul mit komponentenweiser Addition und der Skalarmultiplikation $\left.\mathbb{R}[X] \times M_{B} \rightarrow M_{B}:(f, v) \mapsto f(B) v\right .$. Wie beweise ich, dass es genau einen nicht-trivialen Untermodul von $M_{B}$ gibt.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Idee: Es gibt einen nichttrivialen Unterraum von
$\mathbb{R}^{2}$, der unter B invariant ist, nämlich der, der von $e_{1}$ aufgespannt wird. Das sieht mir nach einem Kandidaten für einen Untermodul aus.

Habe ich das gut verstanden , oder soll ich was anderes machen ,und falls ja ,wie soll ich das schreiben.

Vielen Dank im Voraus!!

Comments

Ist meine Frage nicht ganz klar?

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Moin Moin .ist die Aufgabe so schwierig?

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Du hast den Untermodul doch schon gefunden: <e₁>

Jeder ℝ[X]-Untermodul ist auch ein ℝ-UVR.

Für nichttriviale Untermoduln kommen also nur 1-dimensionale UVRs von ℝ² in Frage. Jetzt betrachte die UVR <v> ≠ <e₁> (d.h. die zweite Komponente von v ist ungleich 0) und begründe warum diese keine ℝ[X]-Untermoduln sein können, es wird an der Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation scheitern.

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ich habe also verstanden, dass eine Teilmenge ein Untermodul ist, wenn sie abgeschlossen ist unter der Addition und unter der Multiplikation mit einem Ringelement. Das muss ich nachweisen. Der Ring enthält insbesondere die reellen Zahlen, also muss die Menge unter skalarer Multiplikation mit reellen Zahlen abgeschlossen sein, also ein Untervektorraum des ℝ² sein. Der Polynomring enthält außerdem die Unbestimmte X. Die Skalar-Multiplikation mit Polynomen ist so definiert, dass die Abbildung B in das Polynom eingesetzt wird und die lineare Abbildung, die dadurch entsteht, auf den Vektor angewendet wird. Also muss die Menge invariant (abgeschlossen) sein unter der Anwendung von B. Aus der Form der Abbilung B ergibt sich, dass es nur einen nichttrivialen Unterraum gibt, der invariant ist unter B, nämlich den Eigenraum zum Eigenwert 1. Dies ist der Untervektorraum, der aus allen Vektoren der Form (r 0) mit r ∈ℝ besteht.

habe ich das so richtig verstanden?!

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Also muss die Menge invariant (abgeschlossen) sein unter der Anwendung von B. Aus der Form der Abbilung B ergibt sich, dass es nur einen nichttrivialen Unterraum gibt, der invariant ist unter B, nämlich den Eigenraum zum Eigenwert 1.

Ja genau. Die Eindeutigkeit könnte man so begründen: Sei <v> so ein invarianter Unterraum, dann ist Bv = a*v ∈ <v>, also v Eigenvektor zum Eigenwert a. 1 einziger Eigenwert. Somit <v> ⊆ Eig (B,1) = <e_1>

Wegen dim <v> = 1 = dim <e_1>, gilt <v> =<e_1> .

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Vielen Dank EmNero , aber ich habe noch ein klein Problem ,dass ich nicht weiß wie ich das alles zuordnen und schreiben muss obwohl ich alles verstanden habe !

könntest du mir bitte vielleicht beim Schreiben der Antwort helfen?!

Answer 1

Also eigentlich steht schon alles da.

Existenz:

- Rechne halt schnell nach das <e_1> unter der Multiplikation abgeschlossen ist.

Eindeutigkeit:

Jeder ℝ[X]-Untermodul ist auch ein ℝ-UVR.

Für nichttriviale Untermoduln kommen also nur 1-dimensionale UVRs von ℝ^2 in Frage.

Sei nun <v> mit v in ℝ² ein nichttrivialer Untermodul.

Der Polynomring enthält die Unbestimmte X. ... Also muss die Menge invariant (abgeschlossen) sein unter der Anwendung von B.

Es ist Bv = a*v ∈ <v>, also v Eigenvektor zum Eigenwert a. 1 einziger Eigenwert. Somit <v> ⊆ Eig (B,1) = <e_1>

Wegen dim <v> = 1 = dim <e_1>, gilt <v> =<e_1> .

Es existieren folglich nur 3 Untermoduln: {0}, ℝ² und der einzig nichttriviale: <e_1>

Comments

Vielen Dank !

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Hallo dages , könntest du mir bitte vielleicht die Lösung schicken was du geschrieben hast? weil ich die gleiche Hausaufgabe habe. Vielen Dank im Voraus!