Ableitungen für x-Achsen-Abschnitte

Question

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x^{2} & \text { falls } x<2 \\ b x^{3}+4 & \text { falls } x>2 \end{array}\right. \)

Berechnen Sie für \( x<2 \) und für \( x>2 \) die Ableitung \( f^{\prime}(x) \). Bestimmen Sie \( a, b \in \mathbb{R} \) so, dass \( f \) und \( f^{\prime} \) auf \( \mathbb{R} \) stetig sind.

Answer 1

Hi,

f'₁(x) = 2ax

f'₂(x) = 3bx^2

 

Damit Stetigkeit vorliegt muss an der Stelle x = 2, f₁(2) = f₂(2) sein und wegen der Stetigkeit bei f' muss auch selbsiges für die Ableitungen gelten:

4a = 8b+4

2a*2 = 3b*4

 

4a = 8b+4

4a = 12b

 

Gleichsetzen:

8b+4 = 12b   |-8b

b = 1

Damit in die zweite Gleichung: a = 3

 

Es ist also f₁(x) = 3x^2 und f₂(x) = x^3+4

 

Grüße