Ableitungen für x-Achsen-Abschnitte

Question

Sei $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a x^{2} & \text { falls } x<2 \\ b x^{3}+4 & \text { falls } x>2 \end{array}\right.$

Berechnen Sie für $x<2$ und für $x>2$ die Ableitung $f^{\prime}(x)$. Bestimmen Sie $a, b \in \mathbb{R}$ so, dass $f$ und $f^{\prime}$ auf $\mathbb{R}$ stetig sind.

Answer 1

Hi,

f'₁(x) = 2ax

f'₂(x) = 3bx²

 

Damit Stetigkeit vorliegt muss an der Stelle x = 2, f₁(2) = f₂(2) sein und wegen der Stetigkeit bei f' muss auch selbsiges für die Ableitungen gelten:

4a = 8b+4

2a*2 = 3b*4

 

4a = 8b+4

4a = 12b

 

Gleichsetzen:

8b+4 = 12b   |-8b

b = 1

Damit in die zweite Gleichung: a = 3

 

Es ist also f₁(x) = 3x² und f₂(x) = x³+4

 

Grüße