Kreuzprodukt von Vektoren, Rang,

Question

Aufgabe:

Sei a: K3 x K3 → K3  eine bilineare Abbildung mit (x,y) ↦ x × y wobei
\( \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) × \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} bz - cy \\ cx - az \\ ay - bx \end{pmatrix} \)

Dann erhalten wir eine Abbildung b: K3 ⊗ K3 → K3  mit b=(v⊗w) = a (v,w)
Gebe den Rang der lineare Abbildung b an.


Gibt es Ideen wie man hier vorgehen könnte ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Geben den Rang der linearen Abbildung an: Kreuzprodukt von Vektoren (bilinear)

Stichworte: kreuzprodukt,vektoren

Aufgabe:
Sei a: K³ x K³ → K³  eine bilineare Abbildung mit (x,y) ↦ x × y wobei
\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \) x \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} bz - cy \\ cx- az  \\ ay - bx \end{pmatrix} \).
Dann erhalten wir eine Abbildung b: K³ ⊗ K³ → K³  mit b=(v⊗w) = a (v,w)
Gebe den Rang der lineare Abbildung b an.


Gibt es Ideen wie man hier vorgehen könnte ?

Answer 1

Der Rang ist doch die Dimension des Bildes .

Betrachte mal alle Bilder von je zwei der kanonischen Einheitsvektoren,

also

z.B.  (1;0;0) x ( 0;1;0)

und (1;0;0) x ( 0;0;1)

und (0;0;1) x ( 0;1;0)

Dann bekommst du drei lin. Unabhängige in K^3,

also dim(Bild) = 3.