Hey lea0512,
Mit einem Dreifachintegral funktioniert das ziemlich gut. Die obere Hälfte der Einheitsskugel lässt sich in Zeichen ausdrücken durch \(H=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2+z^2\leq1,\ z\geq0\right\}\).
Am besten nutzt du Kugelkoordinaten:
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cdot\cos(\varphi)\cos(\theta)\\r\cdot\sin(\varphi)\cos(\theta)\\r\cdot\sin(\theta)\end{pmatrix},\ r\in[0,1],\ \varphi\in[0,2\pi),\ \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$$
Wichtig: Beachte bei der Transformation von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten noch die Determinante der Jacobimatrix: \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=r^2\cos(\theta)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta\).
$$\iiint\limits_{H}\! 1\,\mathrm{d}H = \int\limits_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{r=0}^1\!r^2\cdot\cos(\theta)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta = 2\pi\cdot \frac13\left[r^3\right]_{0}^1\cdot\left[\sin(\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{2}{3}\pi$$
Viel Spaß
MathePeter
