Wie berechnet man folgende Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne?

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthält eine schwarze und vier weiße Kugeln. Es werden zehn Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse!

A: Die erste Kugel ist schwarz.

B: Genau zwei Kugeln sind schwarz.

C: Mindestens eine Kugel ist schwarz.

D: Höchstens eine Kugel ist schwarz.

b) Wie viele Kugeln muss man aus einer Urne mit Zurücklegen mindestens ziehen, damit sich unter den gezogenen Kugeln mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % eine schwarze Kugel befindet?

Problem/Ansatz:

Mein Ansätze zu a):

P(A)= 1/5....richtig

P(B)= (10 über 2)- (1/5)² * (1-(1/5))^(10-2)

P(C)= 1-P(keine schwarz)= 1- (10 über 0)* (4/5)^0 * (1-(4/5))^10

P(D)= P(keine schwarz) + P(eine schwarz)

Probleme bei P(B), P(C): bei mir kommen falsche Lösungen heraus. Richtig wäre P(B)= 0,30; P(C)= 0,89

Problem bei D: ich weiß nicht wie man die Wahrscheinlichkeiten zu einer richtigen Formel kombiniert. Richtige Lösung wäre: P(D)= 0,38

b) hab absolut keinen Plan. Richtig wäre: mindestens 11 Kugeln

Answer 1

a)
P(A) = 1/5 = 0.2
P(B) = COMB(10, 2)·0.2^2·0.8^8 = 0.3020
P(C) = 1 - 0.8^10 = 0.8926
P(D) = 0.8^10 + 10·0.2·0.8^9 = 0.3758

b)
1 - (1 - 0.2)^n ≥ 0.9 → n ≥ 11

Answer 2

Eine Urne enthält eine schwarze und vier weiße Kugeln. Es werden zehn Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse!
A: Die erste Kugel ist schwarz.
1/5

B: Genau zwei Kugeln sind schwarz.
1.Kombiation
ssww
1/5 * 1/5 * 3/5 * 3/5 * 3/5  * 3/5 * 3/5 * 3/5 * 3/5 * 3/5
= 3^8 / 5^10
= 0.000671846
2er Kombinationmöglichkeiten
Binominalkoeffizient
n! / [ k! * (n! - k!) ]
k = 10! / [ 2! * ( 10 -2 )! ]
45
0.000671846 * 45
0.0302

C: Mindestens eine Kugel ist schwarz.
Gegenwahrscheinlichkeit
keine Kugel ist schwarz
(3/5) ^10
0.00605

min 1 schwarze
1 - 3^5
0.9939

D: Höchstens eine Kugel ist schwarz.
1/5 * 3/5 ^9
kann 10 mal vorkimmen
1/5 * (3/5) ^10  * 10
plus keine Schwarze
0.00605 ( s.o.)

Na, hoffentlich stimmt das alles.
Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Stimmt auch.
Ich hatte nur mit 5 Ziehungen gerechnet
und nicht mit 10.