DGL 2. Ordnung C1 und C2

Question

Aufgabe:

Ich soll die Lösung zu den Anfangswerten der DGL 2. Ordnung bestimmen.

Das ist die Gleichung:

y''+2y'-3y=3x^2-4x

Das sind die Anfangswerte:

y(0) = 2

y'(0) = 1

Problem/Ansatz:

Das ist zunächst meine Lösung

y = C1*e^x + C2*e^-3x - x^2 - 2/3

Den ersten Anfangswert eingesetzt, kriege ich folgendes raus

8/3 = C1 + C2

Frage 1: Wie bestimme ich C1 und C2 einzeln?

Frage 2: Muss ich den zweiten Wert in die erste Ableitung einsetzen? Wenn ja, ist diese Ableitung korrekt?

--> y' = C1*e^x + C2*-3e^-3x - 2x

Ich freue mich auf Eure Hilfe !

Comments

Wenn dir meine Antwort weiter geholfen hat, würde ich mich sehr über eine "Beste Antwort" Bewertung freuen, ansonsten frag gern noch mal nach :))

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Hallo MathePeterVideoKanal,

willkommen in diesem Forum.

Schön, dass du anderen kompetent helfen willst (und das auch tust). Du hast dir auch schon nach kurzer Zeit ein Alleinstellungsmerkmal erkämpft: Niemand sonst bettelt hier um gute Bewertungen. Das wirkt ein wenig peinlich, aber sonst: Gute Arbeit!

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Vielen Dank für die Begrüßung! Hab verstanden. Muss mich erst mal reinfinden wie die allgemeinen Verhaltensregeln sind. Danke für den Hinweis :)

Answer 1

Hey eb25,

Schöne Aufgabe, die DGL hast du auf jeden Fall richtig gelöst! :)

Jetzt noch die Anfangswerte in deine Lösung \(y=c_1\mathrm{e}^x+c_2\mathrm{e}^{-3x}-x^2-\frac23\) und deren Ableitung \(y'=c_1\mathrm{e}^x-3c_2\mathrm{e}^{-3x}-2x\) einsetzen, um die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\) zu bestimmen. Das heißt einmal (I) \(y(0)=2\), also \(x=0\) und \(y=2\) und einmal (II) \(y'(0)=1\), also \(x=0\) und in die Ableitung \(y'=1\). Damit hast du:

$$\begin{array}{rcl}(I)\quad 2&=&c_1+c_2-\frac23\\ (II)\quad 1&=&c_1-3c_2\end{array}$$

Wenn du zum Beispiel rechnest (I)-(II), dann erhältst du \(1=4c_2-\frac23\), also \(c_2=\frac{5}{12}\). Das eingesetzt in (I) oder (II) liefert dir \(c_1=\frac{9}{4}\).

Viel Spaß!
MathePeter