Transformieren Sie die Differentialgleichung und lösen sie das Anfangswertproblem

Question

$$ y^{\prime}=\frac{y}{x} f\left(x^{n} y^{m}\right) $$
mit \(n, m ∈ ℕ\) und \(x > 0\)

a) Transformieren Sie die Differentialgleichung mittels der Transformation \( u(x)=x^{n}(y(x))^{m} \) auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
b) Lösen Sie das dazugehörige Anfangswertproblem mit der Anfangsbedingung \( y(1)=2 \) für \( n=1, m=2 \) und \( f(t)=t \)

Hinweis: Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a). Zur Kontrolle: Die Differentialgleichung für \( u \) in Teil a ) lautet
$$ \frac{u^{\prime}}{(n+m f(u)) \cdot u}=\frac{1}{x} $$

Kann mir jemand bei der Lösung helfen?

Answer 1

Hallo

u nach Produkt und Kettenregel ableiten,  dann u'*x bilden, für y' =y/x*f(u) einsetzen und du hast die ja angegebene Lösung von a)

in b dann einsetzen und integrieren, Partialbruchzerlegung hilft oder Integralrechner,

Gruß lul

Comments

Die Ableitung von u lautet ja dann:

\( u'(x) = x^{n-1} y(x)^{m-1}\left(m x y^{\prime}(x)+n y(x)\right) \)

jetzt u'*x:

\( u'(x)*x = (x^{n-1} y(x)^{m-1}\left(m x y^{\prime}(x)+n y(x)\right))*x \)

Aber wie sieht das denn nun eingesetzt aus und warum rechne ich *x?

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Hallo

u'=n*x^n-1y^m+m*x^ny^m-1*y' mit x mult und y'=y/x*f(u) eingesetzt

u'*x=n*x^ny^m+m*x^n*y^n*f(u)=n*u+m*u*f(u)

und damit direkt auf die angegebene Formel

Gruß lul