Sei M eine nicht leere Menge und seien A, B ⊆ M. Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgende Mengengleichung

Question

Aufgabe:

Sei M eine nicht leere Menge und seien A, B ⊆ M. Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgende Mengengleichung

(A∩B)^C = A^C∪ B^C

Hinweis:

Mit C wurden die komplementären Mengen der oben angegeben Mengen bezeichnet.

Answer 1

(A∩B)^C = A^C∪ B^C

Sei x ∈ (A∩B)^C

<=>  x∈M ∧ x ∉ A∩B

<=>    x∈M ∧ ( x ∉A  ∨ x ∉B )

<=>    (x∈M ∧ x ∉A)  ∨ (x∈M ∧x ∉B )

<=>    (xA^C)  ∨ (x∈B^C )

<=>    x ∈ A^C∪ B^C.  q.e.d.

siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzmäßigkeiten