Sind die Kegelschnitte Q1 und Q2 affin äquivalent?

Question

Aufgabe:

Sind die Kegelschnitte Q₁ und Q₂ affin äquivalent?

Q₁: 0 = x² + y² + 2(x - y)

Q₂: 0 = x² - 2xy + y² - \( \sqrt{2} \)(x+y)

Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß, sind zwei Kegelschnitte äquivalent wenn es eine Abbildung von einer auf die andere gibt. Ich verstehe nicht wie ich diese Abbildung finden soll. Kann mir das jemand erklähren bzw. zeigen?

Answer 1

Könnte es sein, daß die Aufgabe lautet die Transformation auf affine Normalform herzuleiten.

Die Kegelschnitte Q1 Kreis und Q2 Parabel sind wohl nicht affin äquivalent - so weit ich das parat habe?

Aber quadratisch ergänzt

\(q_1(x, y) \, :=  \, x^{2} + y^{2} + 2 \; x - 2 \; y\) ===> x^T A x + a^T x

\(Nq_1:=q_1(x-1, y+1)\)

\(Nq_1 \, :=  \, x^{2} + y^{2} - 2\)

\(\small Aq_1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x\\y\\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r}-1\\1\\\end{array}\right)\)

\(\phi(X):=Aq_1^{T} \; A \; Aq_1 + Aq_1^{T} \; a\)

\(q_2(x, y) \, :=  \, x^{2} + y^{2} - 2 \; x \; y - \sqrt{2} \; \left(x + y \right)\) ===> x^T C x + c^T x

\(Nq_2 \, :=  \, q_2\left(\frac{x + \sqrt{2} \; y}{4}, \frac{\sqrt{2} \; y - x}{4} \right)\)

\(Nq_2 \, :=  \, \frac{1}{4} \; x^{2} - y\)

\(\small Aq_2 \, :=  \, \frac{1}{4} \; \left(\begin{array}{rr}1&\sqrt{2}\\-1&\sqrt{2}\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x\\y\\\end{array}\right)\)

\(\phi(X):=Aq_2^{T} \; C \; Aq_2 + Aq_2^{T} \; c\)