Wie bestimme ich J(a) ?Parameterintegrale und Differentiation!

Question

Aufgabe:

Sei \( J: \mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
$$ J(a):=\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(1+a \cdot \sin ^{2}(y)\right) \mathrm{d} y $$

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich \( J(a) \)?

Ich weiß, dass ich t\(J`(a) \) berechnen soll, aber ich komme nicht voran!

Könnte mir bitte jemand helfen?1

Comments

ich würde mich immer noch auf eine Antwort freuen!

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Was soll ich machen, damit meine Frage von jemandem beantwortet?!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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Hallo,

kannst Du J'(a) berechnen und kommst dann nicht weiter oder weißt Du nicht, wie man J'(a) berechnet?

Gruß

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Zur Kontrolle.

Answer 1

Aloha :)

Vermutlich hat bisher niemand geantwortet, weil das Integral sehr aufwändig zu berechnen ist. Vermutlich sollst du es gar nicht ausrechnen, weil nach der Ableitung \(J'(\alpha)\) gefragt ist. Diese kannst du gemäß der Leibniz-Regel angeben, indem du unter dem Integral partiell nach \(a\) differenzierst:$$J'(a)=\int\limits_0^{\pi/2}dy\,\frac{\partial}{\partial a}\ln\left(1+a\,\sin^2y\right)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{\sin^2y}{1+a\,\sin^2 y}dy$$Das auszurechnen macht zwar immer noch keinen großen Spaß, aber du hast zumindest \(J'(a)\) angegeben.