Quadriken im R³ und Typ bestimmen

Question

Aufgabe:

Quadriken im \( \mathbb{R}^{3} \) )

Stellen Sie fest, zu welchem Typ die folgende Quadrik im \( \mathbb{R}^{3} \) gehört und zeichnen Sie sie, gemeinsam mit ihren Hauptachsen, in das gegebene Koordinatensystem ein:
$$ 2 x^{2}+2 x y+2 y^{2}-2 x z+2 z^{2}-2 y z-1=0 $$

Answer 1

Du kannst Deine Quadrik schreiben als \( u^T A u - 1 \) mit $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$ und $$ u = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} $$

Die Matrix \( A \) nun diagonalisieren und die Transformation $$ u = S v $$ vornehmen. Wobei \( S \) aus den Eigenvektoren als Spaltenvektoren besteht.

Ergebnis ist dann $$ x^2 +y^2 + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 $$ Also ist die Quadrik ein Ellipsoid.