Wie wird dieser Term vereinfacht?

Question

Aufgabe:

Ableiten von

e^z/(1+e^z)

Ergibt bei mir:

e^z/(1+e^z) - (e^z*e^z)/(1+e^z)²

Die Vereinfachung laut https://www.ableitungsrechner.net/ verstehe ich allerdings nicht. Ich kann die Terme doch nicht einfach voneinander abziehen, weil die Nenner unterschiedlich sind. Deswegen frage ich mich, wie diese Vereinfachung zustande kam:

e^z/(1+e^z)²

Answer 1

e^z/(1 + e^z) - e^z·e^z/(1 + e^z)^2

Brüche werden gleichnamig gemacht und dann zu einem Bruch addiert.

= e^z·(1 + e^z)/(1 + e^z)^2 - e^z·e^z/(1 + e^z)^2

= (e^z·(1 + e^z) - e^z·e^z) / (1 + e^z)^2

= e^z·(1 + e^z - e^z) / (1 + e^z)^2

= e^z / (1 + e^z)^2

Answer 2

Hallo,

$$\frac{e^z}{1+e^z}-\frac{e^z\cdot e^z}{(1+e^z)^2}=\\ $$

Erweitere den 1. Bruch mit \((1+e^z)^2\)

$$\frac{e^z\cdot(1+e^z)}{(1+e^z)^2}-\frac{e^{2z}}{(1+e^z)^2}$$

Zusammenfassen ergibt

$$\frac{e^z\cdot(1+e^z)-e^{2z}}{(1+e^z)^2}$$

\(e^z\) im Zähler ausklammern

$$\frac{e^z\cdot(1+e^z-e^z)}{(1+e^z)^2}\\ =\frac{e^z}{(1+e^z)^2}$$

Gruß, Silvia

Answer 3

Auf einen Nenner schreiben und im Zähler e^z ausklammern.