Flächenverhältnis regelmäßiger Achtecke

Question

Zwei kongruente regelmäßige Achtecke überlappen sich in einer Raute, deren Ecken gleichzeitig Ecken der Achtecke sind. Die beiden Achtecke werden von einem größeren regelmäßigen Achteck so eingehüllt, dass je zwei Seiten der kleinen Achtecke auf Seiten des großen Achtecks liegen (siehe Skizze). In welchem Flächenverhältnis steht ein kleines Achteck zum großen Achteck? Das Flächenverhältnis ist exakt und in der einfachsten Form anzugeben.

Comments

Hallo suchst du die Lösung oder ist das einfach ein "Rätsel "

lul

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Hallo Roland,

wie sieht deine Musterlösung denn nun aus?

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Lösungsweg: Seite des kleinen Achtecks sei 1, Seite des großen Achtecks sei a. Dann ist 2+3/2·√2=a·(1+√2) und a=1+√2/2. Das ist das Längenverhältnis. Das Flächenverhältnis ist dann (1+√2/2)²=√2+3/2

abakus Lösung ist der Kehrwert des Längenverhältnisses, aber unvollständig.

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Dein Ergebnis steht als Zwischenergebnis in meiner Antwort. Gefragt hattest du aber nach dem Flächenverhältnis Klein:Groß...

:-)

Answer 1

Sei a die Seitenlänge des großen und b die Seitenlänge des kleinen Achtecks. Die Entfernung von oben nach unten (rot) lässt sich unter Verwendung von a (links) als 0,5\( \sqrt{2} \)  a + a + 0,5\( \sqrt{2} \) a=\( (\sqrt{2}+1) \) a beschreiben. Unter Verwendung von b (rechts) ist die gleiche Entfernung

0,5\( \sqrt{2} \) b + b + 0,5\( \sqrt{2} \) b + b+ 0,5\( \sqrt{2} \) b=\( (1,5\sqrt{2}+2) \)b .

Damit erhalten wir \( (\sqrt{2}+1) \) a=\( (1,5\sqrt{2}+2) \)b bzw. \( \frac{b}{a} \)=\( \frac{\sqrt{2}+1 }{1,5\sqrt{2}+2} \).

Das Quadrat dieses Längenverhältnisses ist das Flächenverhältnis.

Comments

Deine Lösung ist zu meiner äquivalent.

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@abakus: Beachte: Das Flächenverhältnis ist in der einfachsten Form anzugeben.

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Glückwunsch zur besten Antwort, abakus!

Wobei ich meine allerdings eleganter und vollständiger finde.   :-)

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@abakus: Beachte: Das Flächenverhältnis ist in der einfachsten Form anzugeben.

@Roland

Du darfst mir durchaus glauben, dass ich des Lesens kundig bin.

Ich habe mich einfach nur freiwillig mit dieser Aufgabe befasst und fand sie nett. NUR aus diesem Grund habe ich einen möglichen Lösungsansatz skizziert. Es war nicht meine Präferenz, irgendwelche Erwartungshaltungen des originalen Aufgabenstellers oder seines Zitierers in Bezug auf das zu erfüllen, was ein Aufgabenlöser gefälligst zu liefern habe.

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Beschäftigen wir uns hier nicht alle freiwillig mit den Fragestellungen?

Da diese Aufgabe von Roland, also einem erfahrenen Moderator, gestellt wurde, gehe ich davon aus, dass Lösungsideen gefragt sind und keine ausgearbeiteten Komplettlösungen.

:-)

Answer 2

Die Seitenlänge des kleinen Achtecks sei 1.

Dann ist die Seitenlänge des großen Achtecks \(1+\frac{\sqrt2}{2}\).

Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate der Seitenlängen.

\(\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2:1^2=1+\sqrt 2 +0,5=1,5+\sqrt2\)

Jetzt noch den Kehrbruch bilden:

$$ \frac{1}{1,5+\sqrt2}=\frac{1,5-\sqrt2}{(1,5+\sqrt2)(1,5-\sqrt 2)}=\frac{1,5-\sqrt2}{0,25}=6-4\sqrt2\approx 0.343145750508$$

Comments

Warum hat die Seitenlänge des großen Achtecks den von dir angegebenen Wert?

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Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck in deiner Zeichning unten links hat die Hypotenuse b=1. Die Katheten haben dann die Länge Wurzel 1/2.

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OK, ok, deine Antwort war die bessere.

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Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck in deiner Zeichning unten links hat die Hypotenuse b=1. Die Katheten haben dann die Länge Wurzel 1/2.

@monty

Du hast aber mit deiner gefühlt besten Antwort bisher versäumt ein Argument zu liefern, warum die Seitenlänge des großen Achtecks gleich der Summe aus Kathetenlänge und Hypotenusenlänge des bewussten kleinen Dreiecks ist. Was für dich trivial erscheint muss nicht für jeden unserer Mitleser verständlich sein.