ich bin lost bei der folgenden Aufgabe..
Berechnen Sie für die Funktion f(x) = cos(x) mit der Iterationsfunktion Φ : ℝ → ℝ mit Φ(x) = x - cos(x) die Nullstelle im Intervall [-3/2, 2] in einer Genauigkeit von 10 Nachkommastellen.
a) Prüfen Sie, ob Φ die Eigenschaften I1 und I2 besitzt.
b) Berechnen Sie die Folge xn = Φ(xn-1) mit dem Startwert x1 = 1,5. Iterieren Sie, bis sich die ersten 10 Nachkommastellen nicht mehr ändern.
c) Bringen Sie Ihr Ergebnis mit dem Banachschen Fixpunktsatz in Verbindung. Wie können Sie argumentieren,
dass die Iteration, nachdem Sie in b) abgebrochen haben, kein Folgenglied hervorbringt,
welches sich in den ersten 10 Nachkommastellen vom vorhergegangenen Folgenglied unterscheidet?
ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr die Aufgabe lösen könntet.. Ich verstehe Aufgaben viel besser, wenn ich sie korrekt gelöst vor mir habe.
Definitionen von I1 und I2:
I1 - Für alle x ∈ I mit Φ(x) = x ist f(x) = 0. Das heißt, dass jeder Fixpunkt von Φ eine Nullstelle von f ist.
I2 - Die Iterationsfunktion Φ ist stetig.
