Polynom bilden aus Linearfaktoren, um Nullstellen zu beweisen

Question

Aufgabe:

Polynom erstellen mit 2 rellen und 4 komplexen nullstellen und beweisen

Problem/Ansatz:

Ich soll eine Polynom mit 2 reellen und 4 komplexen nullstellen bilden,

kann ich die nullstellen einfach zerlegt nehmen:

z.B

(z-12)(z+12)(z-i)(z+i)(z-1-i)(z+1+i)

und daraus ein Polynom bilden und das genügt als bewiesen, dass nur die Nullstellen vorhanden sind?

Answer 1

Reelle Nullstellen sind auch komplexe Nullstellen.

Comments

d.h. ich entferne 2 komplexe nullstellen?

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Ja, aber nicht die beiden reellen!

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Drücken wir die Daumen, dass nicht echt komplexe Nullstellen gemeint sind.

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also würde (z-12)(z+12)(z-i)(z+i) gehen? und wenn ich jetzt das Polynom bilde wäre es korrekt?

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also z^4 -143z^2 -144 z.B in diesem Fall und das reicht als Beweis weil ich ja aus den Nullstellen gemacht habe?

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Vielleicht reichst du mal die genaue Aufgabenstellung nach.

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Welche Aussage soll bewiesen werden? Bitte genauer formulieren.

z.B.: x⁶+x⁴-16x-16 hat die Nullstellen x_1/2=±2i, x_3/4=±i, x_5/6=±2.    

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genau zwei reelle und genau 2 komplexe

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@rc:

Drücken wir die Daumen, dass nicht echt komplexe Nullstellen gemeint sind.

Obwohl wir sagen "Jeder Dackel ist ein Hund." empfinden wir die Bezeichnung "Echthund" für jeden Hund, der kein Dackel ist, als wenig angemessen.

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Zwei Beispiele:

Die Polynomfunktion \(p:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \), mit \(z \mapsto z^2-1\) besitzt genau zwei (verschiedene!) komplexe Nullstellen, davon sind zwei reell.

Die Polynomfunktion \(p:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \), mit \(z \mapsto z^4-1\) besitzt genau vier (verschiedene!) komplexe Nullstellen, davon sind zwei reell und zwei nicht reell.

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Steile These!

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@Gastao0815 wo finde ich etwas darüber ich weiß nicht warum reelle nullstellen auch komplexe nullstellen sind

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danke euch :)

Answer 2

@Gastao0815 wo finde ich etwas darüber ich weiß nicht warum reelle nullstellen auch komplexe nullstellen sind

\(\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}\).

Bauart einer komplexen Zahl; \(z=a+ib\) mit \(a,b\in \mathbb{R}\).

Der Imaginärteil \(\Im(z)=b\). Setzt du diesen Null, so hast du \(z=a+i\cdot 0=a\) mit \(a\in \mathbb{R}\). Also alle reellen Zahlen.