Universelle Eigenschaft:
Seien V, W, T K-Vektorräume. T heißt ein Tensorprodukt von V und W, falls es eine bilineare Abbildung $$ \phi : V \times W \to T $$ gibt, s.d. für alle bilineare Abbildungen \( \psi : V \times W \to X \) in einen K-VR X gilt:
Es existiert genau eine lineare Abbildung \( \tilde \psi : T \to X \) mit \( \psi = \tilde \psi \circ \phi \).
Jetzt zu eurer Frage:
V* und W sind gegeben, das Tensorprodukt ist \( V^* \otimes W \), die zugehörige Abbildung
$$ \phi : V^* \times W \to V^*\otimes W, (\varphi, w) \mapsto \varphi \otimes w$$
Wir möchten im ersten Schritt eine lineare Abbildung \( \Psi : V^* \otimes W \to \operatorname{Hom}(V,W) \) finden, um einen Kandidaten für den Isomorphismus zu haben. Nach der UE reicht es aber einfach eine bilineare Abb. \( \Psi : V^* \times W \to \operatorname{Hom}(V,W) \) anzugeben. Seien \( \varphi \in V^* \), d.h. \( \varphi : V \to K \) linear, und \( w \in W \). Es soll $$ \Psi(\varphi, w) \in \operatorname{Hom}(V,W) $$ gelten: $$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \dotsm ? $$Was macht man jetzt mit diesem v? Man kann es in \( \varphi \) einsetzen, dann kommt ein Skalar raus:$$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \varphi(v) \dotsm ? $$ Das v ist also erst einmal sinnvoll beseitigt, aber wir landen noch nicht in W, dass kann man aber leicht ändern wenn man noch den Vektor w verwendet:$$ \Psi(\varphi, w) : v \mapsto \varphi(v) \cdot w $$ Solche Abbildungen schreiben sich oft irgendwie natürlich auf. Jetzt muss man nur noch zeigen, dass diese Abbildung auch bilinear ist. Dann bekommt man mit der UE die lineare Abbildung $$ \Psi : V^* \otimes W \to \operatorname{Hom}(V,W), \varphi \otimes w \mapsto (v \mapsto \varphi(v)\cdot w) $$
Nächster Schritt ist die Bijektivität. Wir konstruieren eine Umkehrabbildung: $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto ? $$ Am besten bildet man immer auf die Summe von Elementartensoren ab, da kann nichts schief gehen $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum ? \otimes ?? $$ Die zweite Komponente muss in W liegen, \( \varphi \) bildet nach W ab, also muss man da bestimmt was einsetzen $$ \Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum ? \otimes \varphi(??) $$
Und jetzt wird es etwas knifflig, wir betreiben reverse engineering. Wenn man diese Summe wieder in \( \Psi \) einsetzt soll \( \varphi \) rauskommen: $$ \Psi\left( \sum ? \otimes \varphi(??) \right) = \sum \Psi ( ? \otimes \varphi(??) ) \stackrel{!}{=} \varphi $$
Setzen wir da mal einen Vektor v ein, $$ \left[ \sum \Psi ( ? \otimes \varphi(??) ) \right](v) = \sum ?(v) \cdot \varphi(??) $$
Wir wählen uns jetzt mal eine Basis \( (v_i ) \) von V, und \( v = \sum \lambda_i v_i \), dann gilt
$$ \varphi(v) = \sum \lambda_i \varphi(v_i) $$
Und jetzt sieht man den weiteren Weg \( ?(v) \widehat = \lambda_i \), \( \varphi(??) \widehat = \varphi(v_i) \).
Da V endlich dimensional ist existiert zu \( (v_i) \) eine duale Basis \( (v_i^*) \) von V* angeben, und die hat genau die schöne Eigenschaft, dass \( v_i^*(v) = \lambda_i \). Also definiert man das \( \Phi \) so:
$$\Phi : \operatorname{Hom}(V,W) \to V^* \otimes W, \varphi \mapsto \sum_i v_i^* \otimes \varphi(v_i) $$
Jetzt muss man nur noch zeigen, dass \( \Phi \) linear ist, \( \Psi \circ \Phi = \operatorname{id}_{\operatorname{Hom}(V,W)} \) und \( \Phi \circ \Psi = \operatorname{id}_{V^*\otimes W} \). Das ist aber nicht so schwer.
