Kongruenzabbildung in Matrixdarstellung

Question

Aufgabe:

(a) Gegeben sei das Dreieck \( \Delta A B C \) mit \( A=(1,0), B=(0,-1), C=(3,-1) \) und das Dreieck \( \Delta D E F \) mit \( D=(-1,0), E=(0,1), F=(-3,1) \)
(b) Gegeben sei das Dreieck \( \Delta A B C \) mit \( A=(0,0), B=(1,0), C=(-1,-3) \) und das Dreieck \( \Delta D E F \) mit \( D=(-2,2), E=(-2,3), F=(-5,1) \)

Identifizieren Sie die jeweils zugrundeliegende Kongruenzabbildung, die das Dreieck \( \Delta A B C \) auf das Dreieck \( \Delta D E F \) abbildet (eine Skizze ist dabei hilfreich). Stellen Sie anschließend die identifizierte Kongruenzabbildung in Matrixdarstellung auf und prüfen Sie rechnerisch nach, ob die Eckpunkte aufeinander abgebildet werden.

Problem/Ansatz:

Das zeichnen der Dreiecke ist kein Problem. Leider habe ich keine Ansatz wie ich rechnerisch in Matrixdarstellung das prüfen soll.

Answer 1

Hallo,

Skizze zu a):

ist eindeutig eine Punktspiegelung am Ursprung (oder eine Drehung um 180°). Alle Koordinaten werden negiert. Dann ist die Matrix \(M_a\):$$M_a = \begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}, \quad P' = M_a \cdot P$$

Skizze zu b):

Ist eine Spiegelung an der Geraden \(y-x=2\) (schwarz). Da die Gerade nicht durch den Ursprung geht, ist dies keine lineare Abbildung mehr. Damit wird es eine affine Abbildung mit einem konstanten Anteil einer Verschiebung. Die Spiegelung an einer Gerade, die parallel zur Winkelhalbierenden im ersten Quadranten verläuft, vertauscht die X- und Y-Werte. Also ist \(M_b\)$$M_b = \begin{pmatrix}0& 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$$und der Nullpunkt (Punkt \(A\)) wird auf (-2;2) abgebildet. Folglich ist die affine Abbildung \(P \mapsto P'\)$$P' = M_b \cdot P + c = \begin{pmatrix}0& 1\\ 1& 0\end{pmatrix} P+ \begin{pmatrix}-2\\ 2\end{pmatrix}$$

Answer 2

zu (a)

\( \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \cdot \vec{OA} = \vec{OD}\)

\( \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \cdot \vec{OB} = \vec{OE}\)

\( \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \cdot \vec{OC} = \vec{OF}\)

Setze ein und löse das Gleichungssystem.

Answer 3

Hallo

das erste ist eine Punktspiegelung am 0 Punkt, die Spalten der Matrix sind dann die Bilder der Standardbasisvektoren (1,0) und (0,1) die findest du sicher leicht. das zweite ist eine Spiegelung an der Geraden y=x+2 oder eine Spiegelung an der Wh y=x und anschließende Verschiebung um (-2,-2)

dann die Matrix (und Verschiebung  auf die Punkte anwenden und zeigen, dass sich die richtigen Bildpunkte ergeben.

Gruß lul