Koordinatenform in eine Parameterform umschreiben

Question

Aufgabe:

Ich möchte die Koordinatengleichung:

E:x+y-3z=3 in eine Parameterform umwandeln.

Als Ergebnis habe ich im Buch:

E:Vektor x= (3,0,0)+ Vektor(-3,3,0)+ Vektor(-3,0,1)

Problem/Ansatz:

Mir ist klar wie man auf den Stützpunkt(3|0|0) kommt und auf den Vektor(-3,3,0):

Vektor n(1,1,-3)*Vektor(-3,3,0)=0, aber wie kommt man auf: Richtungsvektor(-3,0,1)?

Ich habe da Vektor (3,0,1) heraus, oder habe ich etwas übersehen?

Vielen Dank für Hilfe

Answer 1

x + y - 3z = 3

Eigentlich braucht man nur 3 Punkte die in der Ebene liegen

Das kann hier sein

(3 | 0 | 0) ; (0 | 3 | 0) ; (0 | 0 | -1)

Den ersten Punkt nimmt man als Stützvektor und dann die Differenz zweier Punkte als Richtungsvektor

[0, 3, 0] - [3, 0, 0] = [-3, 3, 0]

[0, 0, -1] - [3, 0, 0] = [-3, 0, -1]

Wenn im Buch wirklich [-3, 0, 1] steht muss das ein Fehler sein

[-3, 0, 1] * [1, 1, -3] = -3 + 0 - 3 = -6

Da das Skalarprodukt nicht 0 ist, kann dieser Vektor kein Richtungsvektor der Ebene sein.

Dein Vektor [3, 0, 1] ist ein Vielfaches von [-3, 0, -1] und damit auch ein Richtungsvektor.

Comments

Im Buch steht, dass man die Schnittgerade vob E0 und E1 bestimmen soll.

Gegeben sind Ea: x+(1-a)y+(a-3)z=3

E0:x+y-3z=3

E0: Vektor x= (3,0,0)+t*Vektor(-3,3,0)+s(-3,0,1)

E1:x-2z=3

1.-2.: 3-3t-3s+2s=3 => -3t=s

Und die Schnittgerade soll dann

g:Vektor x=(3,0,0) +r* Vektor(2,1,1) ergeben.

Aber mit dem Buchfehler Vektor s(-3,0,1) komme ich nicht auf das Ergebnis der Schnittgerade g.

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x + y - 3·z = 3
x - 2·z = 3

2. Gleichung nach x auflösen

x - 2·z = 3 --> x = 2·z + 3

In erste einsetzen und die nach y auflösen

(2·z + 3) + y - 3·z = 3 --> y = z

Jetzt hast du das Gleichungssystem in Abhängigkeit von z gelöst. Damit ist die Schnittgerade

g: [2·z + 3, z, z] = [3, 0, 0] + z·[2, 1, 1]

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Aber wie kommt man mit dem Lösungsweg aus dem Buch auf die Schnittgerade g?

Ich verstehe den Schritt 1.-2.:

3-3t-3s+2s=3 nicht und der Vektor s(-3,0,1) stimmt auch nicht, wie kommt man damit zu g:Vektor x =(3,0,0)+r(2,1,1)?

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Ich habe den Fehler gefunden☺:

1.-2.: da war nur ein Druckfehler im Buch:)

Bei 1.-2. wird mit dem Vektor s(-3,0,-1) weitergerechnet.

Damit kommt man dann auf

1.-2.: s=-3t, aber wie kommt man damit auf

g: Vektor x = (3,0,0)+ r(2,1,1)?

E0: (3,0,0)+t(-3,3,0)+(-3t)*(-3,0,1)

   =>  (3,0,0)+t(6,3,0)

Aber wie kommt man zu r(2,1,1)?

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Zunächst mal muss man die Gerade richtig aufstellen. Wenn das Buch das nicht macht kann das nur ein schreibfehler sein. Ansonsten kommt man wohl nicht auf die richtige Schnittgerade.

E0: X = [3, 0, 0] + r·[-3, 3, 0] + s·[-3, 0, -1] = [(- 3·r - 3·s + 3), (3·r), (-s)]

Das kann man jetzt in E1 einsetzen

x - 2·z = 3
(- 3·r - 3·s + 3) - 2·(-s) = 3 --> s = - 3·r → Das steht auch in der Musterlösung

Jetzt hast du ja s und kannst es in der Ebenengleichung ersetzen und daraus eine Geradengleichung machen

X = [3, 0, 0] + r·[-3, 3, 0] + (- 3·r)·[-3, 0, -1] = [3, 0, 0] + r·[6, 3, 3]

Jetzt könnte man den Richtungsvektor noch normieren, indem man ihn durch einen gemeinsamen Faktor teilt. Das erspare ich uns aber, weil es klar sein sollte.

So ist also der Weg der Musterlösung. Ich finde ihn persönlich nicht schöner als einfach das lineare Gleichungssystem aus den beiden Koordinatengleichungen zu lösen. Aber das ist Geschmackssache. Können sollte man beides.

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Vielen Dank, jetzt habe ich auch die Lösung im Buch verstanden. :)

Answer 2

Hallo,

x+y-3z=3

Stelle die Gleichung nach z um:

(x+y-3)/3=z

Betrachte nun x und y als Parameter, daher

E: x^{→} = (x,y,x/3 +y/3 -1)

=(0,0,-1)+ x*(1,0,1/3)+y*(0,1,1/3)

Du kannst die Richtngsvektoren noch mit 3 multiplizieren, um das 1/3 wegzubekommen.