Aloha :)
Wir haben folgende Vektorfunktion und folgenden Weg \(C\) vorgegeben:$$\vec h:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\,,\,\binom{x}{y}\mapsto\left(\begin{array}{c}\frac{x}{5+y^2}\\12x^2y\end{array}\right)\quad;\quad C:\,\binom{3}{-3}\to\binom{6}{-3}$$Um das Kurvenintegral zu berechnen, musst du den Weg \(C\) zunächst parametrisieren, d.h. du musst einen Ortsvektor \(\vec r(t)\) finden, der vom Koordinatenursprung aus startet und jeden Punkt auf dem Weg \(C\) in Abhängigkeit von einem Parameter \(t\) abtastet. Dieser Parameter \(t\) könnte z.B. die Zeit sein. Da \(C\) eine Gerade ist, können wir eine Geradengleichung aufstellen:$$\vec r(t)=\binom{3}{-3}+t\,\left[\binom{6}{-3}-\binom{3}{-3}\right]=\binom{3}{-3}+t\,\binom{3}{0}=\binom{3+3t}{-3}\;\;;\;\;t\in[0;1]$$Wichtig ist hierbei, dass wir \(t\) auf das Intervall \([0;1]\) beschränken, damit wir nicht über die Endpunkte \(A\) bzw. \(B\) des Weges hinauslaufen.
Jetzt haben wir alles zusammen, um das Kurvenintegral zu bsetimmen:$$I=\int\limits_{(3;-3)}^{(6;-3)}\vec h(x,y)\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec h(x(t),y(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}\frac{3+3t}{5+(-3)^2}\\12(3+3t)^2(-3)\end{pmatrix}\binom{3}{0}\,dt$$Beachte bitte, wie der Übergang vom Integral über \(d\vec r\) zum Integral über den Parameter \(dt\) funktioniert. Indem wir unseren Weg \(C\) entlang wandern, können wir unsere \(x\)- und unsere \(y\)-Koordinate durch den Parameter \(t\) ausdrücken:$$\binom{x(t)}{y(t)}=\vec r(t)=\binom{3+3t}{-3}$$und in die Funktionsgleichung für \(\vec h\) einsetzen. Parallel dazu substituieren wir das Differential, damit wir nur nich die Integrationsvariable \(t\) haben:$$d\vec r=\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$Da hier die \(y\)-Koordinate des Differentials verschwindet, wird das Integral sehr einfach:$$I=\int\limits_0^1\frac{3+3t}{5+(-3)^2}\cdot3\,dt=\frac{9}{14}\int\limits_0^1(1+t)\,dt=\frac{9}{14}\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac{9}{14}\cdot\frac{3}{2}=\frac{27}{28}$$
