Ungleichungen mit Betrag und Bruch

Question

Aufgabe:

b) Untersuchen Sie welche \( x \in \mathbb{R} \) die folgende Ungleichung erfüllen:
$$ \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 $$

Gibt es bei dieser Ungleichung 4 Fälle? Wie geh ich da am besten ran? Erst den Bruch wegbekommen oder direkt zur Fallunterscheidung?

Answer 1

(3·|x| - 14)/(x - 3) ≤ 4

Fall 1: x ≤ 0

-3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ - 2/7

Fall 2: 0 ≤ x < 3

3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ -2 → Keine Lösung

Fall 3: 3 < x

3·x - 14 ≤ 4·(x - 3) --> x ≥ -2 --> x > 3

Damit komme ich auf die Lösung: x ≤ - 2/7 ∨ x > 3

Comments

Muss man nur für den Nenner die Fälle angeben? Wie wird das |x| im Zähler behandelt?

LG

---

Muss man nicht alle Stellen wo ein x vorkommt betrachten?

zum Beispiel wenn als Zähler ein Betrag steht mit x

(2|x|)/(x+3)

und als Nenner auch ein term mit x

würde man dann einmal den Zähler mit 2|x| = 2x und -2(x) angucken und separat den bruch mit x+3 ><= 0 und dann alle Lösungsmengen zusammenrechnen oder wie würde man das machen?

---

Ja. Man muss natürlich Zähler und Nenner betrachten. Daher habe ich hier auch drei Fälle.

Fall 1: x ≤ 0

Im Zähler kann man |x| durch -x ersetzen.
Der Nenner ist negativ und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen um.

Fall 2: 0 ≤ x < 3

Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen.
Der Nenner ist negativ und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen um.

Fall 3: 3 < x

Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen.
Der Nenner ist positiv und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen nicht um.

---

ich habe das mal durchgerechnet und so aufgeschrieben wie ich es gelernt habe.
Allerdings weiss ich nicht, ob es richtig ist...

Text erkannt:

\( \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 \)
Betrags betrach tung:
\( |x|=\left\{\begin{array}{ll}x & \text { für } x \geq 0 \\ -(x) & \text { cir } x<0\end{array}\right. \)
\( \left.\frac{1.7 .4}{2.7211: x<0}\right\} \quad|x|=\left\{\begin{array}{c}x \quad \text { for } x \geq 0 \\ f_{4}(x) \text { fer } x^{2} 0\end{array}\right. \)
2. Fall :
\( \begin{array}{rl}\frac{-3 x+14}{x-3} \leq 4 \mid \cdot x-3 & 2 \\ \Leftrightarrow-3 x-14 \leq 4 x-12|+12|+3 x \\ \Leftrightarrow-2 \leq 7 x \mid: 7 & \Rightarrow 4,=-\frac{2}{7} \leq x<0 \\ -\frac{2}{7} \leq x & 4,=\left[-\frac{2}{7} ; [0\right.\end{array} \)

Text erkannt:

\( \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 ; \quad \partial_{f}=1 R \backslash\{+3\} ; x-3 \neq 0 \)
Betrachery ous Bruch (Nenne)
(Betragssticle werder with becklet) \( \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4=\left\{\begin{array}{l}3 x-444<4(x-5) \text { for } x-3>0 \\ 3 x-14 x>4(x-3) \text { fer } x-3<0\end{array}\right. \)
\( \left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{rl}1 . \text { Fall } & x-3>0 \\ x-3 & >0 \\ \Leftrightarrow & x>+3\end{array}\right\} \quad \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4=\left\{\begin{array}{l}3 x-14<4(x-1) \text { for } x>3 \\ 2 x_{4} u: x-3<0 \\ \Leftrightarrow x<3\end{array}\right.\end{array}\right\} \)
Losungonengen:
1. Fall: \( \quad x>3 \)
\( \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4 \quad \mid \cdot x-3 \)
\( =73 x-14 \leq 4 x-12,4=>-2 \leq x>3 \quad U_{3}=[-2 ; [3 \)
\( -2 \leq x \)
- Fall: \( x<3 \)
\( \begin{array}{ll}(\cdots) & u_{4}=>-2\left\langle x<3 \quad U_{h}=\right]-2 ; [3\end{array} \)
\( k_{1} \cup u_{2} \cup u_{3} \cup u_{4} \)
\( \ln |x| \frac{x y}{\cos } \cdot \tan (x)=2 \leq x>3 ;-2 x<3 \)