Zeigen, dass für jedes t ∈ R\{0} das LGS die gleiche Lösung besitzt.

Question

Hallo, hat jemand eine Idee wie man hier zeigen kann, dass das LGS für t dann immer die gleiche Lösung besitzt? Was ist überhaupt mit "gleicher Lösung", egal was man für t (außer die 0) einsetzt, gemeint?

$$\text{Zeigen Sie, dass das folgende Gleichungssystem für jedes } t \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \text{ die gleiche Lösung besitzt. }\\ \left(\begin{array}{cccc} -t & -2 t & 0 & 3 \\ 3 t & 2 t & 1 & 1 \\ t & 0 & 0 & -2 \\ -3 t & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -6 \\ 4 t+1 \\ 2 t+4 \\ -6 t+2 \end{array}\right) \\ \text{Was passiert mit der Lösung für } t=0 \text{?}$$

Wenn ich damit Gauss mache, also das LGS in Zeilenstufenform bringe, dann kommt das hier raus:
$$\left(\begin{array}{cccc|c} -t & -2 t & 0 & 3 & -6 \\ 0 & -4 t & 1 & 10 & 4 t-17 \\ 0 & 0 & \frac{-1}{2} & -4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -7 & 14 \end{array}\right)$$

Die Frage ist, was mache ich jetzt damit? Weil daraus kann ich jetzt weder ablesen, warum dass dann immer die gleiche Lösung besitzt noch was bei t=0 passiert.
Falls jemand eine Idee hat, dann danke schon mal im Voraus!

Comments

fehlerhaft, gleich neu

Answer 1

Löse jetzt rückwärts auf

- 7·d = 14 --> d = -2

- 1/2·c - 4·(-2) = 13/2 --> c = 3

- 4·t·b + 1·(3) + 10·(-2) = 4·t - 17 --> b = -1

- t·a - 2·t·(-1) + 0·(3) + 3·(-2) = -6 --> a = 2

Answer 2

Wenn das GS - wie behauptet - für jedes t≠0 die selbe Lösung hat, dann kannst du doch für EIN spezielles t (z.B. für t=1) diese Lösung ausrechnen.

Dann weist du einfach (als Probe) durch Einsetzen dieser Lösung in das allgemeine GS nach, dass sie auch allgemein gilt.

Wenn du aber schon mal Arbeit in die allgemeine Lösung investiert hast: Warum fragst du noch

Die Frage ist, was mache ich jetzt damit?

Selbstverständlich kannst du doch aus deiner EIGENEN Zeilenstufenform sofort x₄=-2 berechnen und davon ausgehend auch x₃ berechnen.