Grenzfunktion einer Funktionenfolge bestimmen

Question

Hallo :)

Ich habe folgende Funktionenfolge: f_n:(0,∞) → ℝ , x→ 2n*( \( \sqrt[n]{2x} \)-1)

Ich soll die Grenzfunktion bestimmen. Leider fällt ich mir das hier schwer. Als Tipp habe ich bekommen, dass ich die Funktionenfolge als Integral schreiben soll. Damit kann ich aber nicht wirklich viel anfangen :/

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiter helfen könnte.

Comments

Erhalte 2(ln(x)+ln(2)), kannst du das bestätigen?

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@rc

Ich kann leider nicht helfen. Um so mehr hätte mich interessiert, wie das mit dem Integral gemeint sein könnte.

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@racine_carree

Ja das soll tatsächlich die richtige Lösung sein. Wie bist du darauf gekommen?

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Es gibt sicherlich elegantere und intelligentere Lösungswege. Ich schreibe meinen mal als Antwort, vielleicht ein Beginn - bin mir aber sicher, dass es vornehmere Lösungen gibt.

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@abakus

Da muss ich dich leider enttäuschen: Hinter die Idee mit dem Integral bin ich auch nich nicht gekommen.

Answer 1

Ich habe einfach die Allzweckwaffe des einfallslosen Mannes ausgepackt (Regel von L'Hopital):$$\lim\limits_{n\to\infty}2n(\sqrt[n]{2x}-1)=2\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2x)^{1/n}-1}{\frac{1}{n}}\\ \quad \quad \quad  \quad  \quad  \quad  \quad \, \, =2\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{1}{n^2}\cdot x^{1/n}\cdot 2^{1/n}(\ln(x)+\ln(2))}{-\frac{1}{n^2}} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, =2\lim\limits_{n\to\infty}x^{1/n}\cdot 2^{1/n}(\ln(x)+\ln(2))\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \,  =2(\ln(x)+\ln(2))$$ Hierbei habe ich u. a. verwendet, dass \(\sqrt[n]{2}\xrightarrow{n\to \infty}1\) und \(\sqrt[n]{x}\xrightarrow{n\to \infty}1\).

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Vielen Dank :)

Answer 2

Hallo,

mit dem Integral geht es so: Es ist

$$f_n(x)=4 \int_{\frac{1}{2}}^x (2t)^{\frac{1}{n}-1} dt$$

Jetzt macht man den Grenzübergang \( n \to \infty\) unter dem Integral und erhält:

$$4 \int_{\frac{1}{2}}^x (2t)^{-1} dt=2 (\ln(x)+ \ln(2))$$ (korrigiert, dank an racine... (s.u.))

Hierfür müsst man aber den Grenzübergang unter dem Integral rechtfertigen?

Gruß

Comments

Hallo,

es ist:$$4\int_{\frac{1}{2}}^x (2t)^{-1} dt=4\left[\frac{1}{2}\ln(t)\right]_{1/2}^{x}=4\left(\frac{1}{2}\ln(x)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right)=2(\ln(x)+\ln(2))$$ Du schreibst \(2(\ln(\color{red}{2}x)+\ln(2))\)

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Danke, habe ich korrigiert.