Gilt auch umgekehrt, dass eine beschränkte Folge konvergiert?

Question

Aufgabe:

a)Zeigen Sie, dass a_n)n∈ ℕ beschränkt ist.

b)Gilt auch umgekehrt, dass eine beschränkte Folge konvergiert?

\( a_n = \frac{14n^3 + 17n + 79800}{5n^3+11n} + \frac{2}{7} \)

Problem/Ansatz:

Ich stehe hier total auf dem Schlauch & weiß nicht wie ich ansetzen soll.

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Hinweis: Exponenten in LaTeX funktionieren mit dem Zeichen ^, z.B. n ^ 5 (ohne Leerzeichen) ergibt \( n^5 \) (siehe auch https://www.matheretter.de/rechner/latex).

Answer 1

a)$$0\leq \frac{14n^3+17n+79800}{5n^3+11n}+\frac{2}{7}\leq \frac{14n^3+17n+79800}{5n^3}+\frac{2}{7}\leq \frac{14}{5}+\frac{2}{7}+\frac{17}{5n^2}+\frac{79800}{5n^3}\leq \frac{14}{5}+\frac{2}{7}+\frac{17}{5}+\frac{79800}{5}$$

b) Nein, betrachte \(((-1)^n)_n\)

Comments

Wieso verschwinden die 11n? Kann ich diesen Schritt auch mit n³ zunächst ausklammern, und dann kürzen?

Und was sagt mir jetzt das Ergebnis aus? Es ist ungleich 0, also ist die Folge beschränkt?

Zu b) Würde sin(x) auch als Begründung durchgehen? Da sin(x) nicht konvergiert und sich zwischen -1 und 1 bewegt, d.h. sie besitzt 2 Verteilungsschwerpunkte.

Vielen dank.

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Das sind keine Gleichungen. Ich versuche, den Term abzuschätzen, so dass ich eine obere Schranke finde. Derjenige Term, der die 11n nicht im Nenner hat, ist in jedem Fall größer als derjenige, der die 11n im Nenner hat.

sin(x) würde auch klappen. Ist beschränkt, konvergiert aber nicht.