Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen

a) 3x^2 - 10x + 3 = 0

b) 3x^4 - 12x^2 - 15 = 0

c) (x^3 - 6x^2 - 12x + 8)(2x - 10) = 0

Eine Nullstelle liegt bei x = -2

Problem/Ansatz

Ich verstehe nicht so wirklich was ich hier tun soll. Soll ich weitere Nullstellen berechnen und dann einsetzten und auflösen? Vielleicht kann mir hier wer helfen :)

Answer 1

(x^3 - 6x^2 - 12x + 8)(2x - 10) = 0

<=> x^3 - 6x^2 - 12x + 8=0   oder 2x - 10= 0

<=> x^3 - 6x^2 - 12x + 8=0  oder   x = 5

und das erste soll ja eine Nullstelle bei -2 haben.

Also teile durch (x+2) und erhalte

( x^3 - 6x^2 - 12x + 8):(x+2) = x^2 -8x + 4

     und das hat noch die Nullstellen 4±2√3.

Comments

Hallo,

oder \(4 \pm 2 \sqrt{3}\)?

Gruß

---

Au ja, da fehlte die 2. Danke, ich korrigiere.

Answer 2

Hallo,

a) 3x^2 -10x +3=0  |:3

x^2 -(10/3 )x +1=0  ->z.B pq-Formel

x_1.2= 5/3 ± √(25/9 -9/9)

x_1.2= 5/3 ± 4/3

x₁=1/3

x₂= 3

Answer 3

Das sind verschiedene Arten von Polynomgleichungen. Man sollte sich einprägen wie die gelöst werten.

Quadratische Gleichungen

3·x^2 - 10·x + 3 = 0          | : 3
x^2 - 10/3·x + 1 = 0           | pq-Formel
x = 5/3 ± √((5/3)^2 - 1) = 5/3 ± 4/3
x = 1/3 ∨ x = 3


Biquadratische Gleichungen

3·x^4 - 12·x^2 - 15 = 0          | : 3
x^4 - 4·x^2 - 5 = 0          | x^2 = z
z^2 - 4·z - 5 = 0          | pq-Formel
z = 2 ± √(2^2 + 5) = 2 ± 3
z = -1 → Keine reelle Lösung
z = 5 → x = - √5 = -2.2361 ∨ x = √5 = 2.2361


Polynomgleichungen in faktorisierter Form

(x^3 - 6·x^2 - 12·x + 8)·(2·x - 10) = 0          | Satz vom Nullprodukt

x^3 - 6·x^2 - 12·x + 8 = 0          | Polynomdivision durch die gegebene Nullstelle x = - 2
(x^3 - 6·x^2 - 12·x + 8) / (x + 2) = x^2 - 8·x + 4
x^2 - 8·x + 4 = 0          | pq-Formel
x = 4 ± √(4^2 - 4) = 4 ± √12
x = 4 - √12 ∨ x = 4 + √12

2·x - 10 = 0 → x = 5

x = - 2 ∨ x = 5 ∨ x = 4 - √12 = 0.5359 ∨ x = 4 + √12 = 7.4641