Bestimme die Grenzwerte von a und b

Question

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Grenzwerte

a) $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-7}{x+1}\right)^{x-1}$
b) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{n}-x}{2 x^{n}+3 x}, \quad n>2$

Moin moin,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter, ich brauche hilfe...

Answer 1

$\frac{x^{n}-x}{2 x^{n}+3 x}$

x ausklammern und kürzen gibt

$= \frac{x^{n-1}-1}{2 x^{n-1}+3 }$

und für x gegen 0 geht das gegen -1/3.

Bei a schreibe es um zu

exp(  ln((x-7)/(x+1)) * (x-1) )     #     und bedenke

ln((x-7)/(x+1)) * (x-1) ist von der Art 0 * ∞, also mit de Hospital

zu betrachten ln((x-7)/(x+1))  /   (1/(x-1))

ist vom Typ 0 / 0 gibt mit de Hospital

(  8 / ((x-7)(x+1))  )  /   ( -1/(x-1)² )

= -8(x-1)² / ( x-7)(x+1) = -8 + 4/x+1  - 36/x-7

also GW für x gegen unendlich ist -8.

Wegen # also deine Grenzwert  e^(-8).

Comments

Ich gucke mir die zweite gleich an, für die erste habe ich das hier raus...

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Na das passt doch.

Die Schreibweise würde ich noch was überarbeiten.

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ja auf die Schreibweise (mit limes und so) habe ich nicht geachtet...
ich komme nicht bei der zweiten Aufgabe weiter, wenn ich die Werte einsetzte komme ich auch auf -1/3 aber wie zeigt man das...

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ich habe da 1/2 raus, wenn ich durch die höchste Potenz teile...

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Habe ich doch als erstes geschrieben:

x ausklammern und kürzen, dann gehen die Terme mit

x für x gegen 0 auch gegen 0 und es bleibt -1/3.

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Alles klar danke!

Answer 2

Bei a) soll laut Wolfram Alpha 1/e⁸ rauskommen, also vermutlich was mit Logarithmus.