3 Parameter bestimmen aus 3 Bedingungen

Question

liebe Mathe Gemeinde!

Ich stehe vor einem Problem und suche gerade einen Ansatz..

Die Aufgabe lautet: Die Auslenkung y(t) eines ungedämpften harmonischen Oszillators (t[s]) sei gegeben
durch die Funktionsgleichung: $$y(t)=a \cdot sin(bt+c)$$

Nun sollen die Parameter a, b, c bestimmt werden aus den folgenden Bedingungen:

1. Der Abstand zweier benachbarter Nullstellen sei 12s.

2. $$y(t=0)=-4$$

3. $$y(t=4)=3$$

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen bei einem Ansatz bzw. eventuelle weiteren Fragen..

LG Sven :)

Answer 1

Aloha :)

Zwei benachbarte Nullstellen der Funktion $\sin x$ finden wir z.B. für $x=0$ und $x=\pi$.$$bt_1+c=0\quad\Rightarrow\quad t_1=-\frac{c}{b}\quad;\quad bt_2+c=\pi\quad\Rightarrow\quad t_2=\frac{\pi-c}{b}$$$$12\stackrel{!}{=}t_2-t_1=\frac{\pi-c}{b}-\left(-\frac{c}{b}\right)=\frac{\pi}{b}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{\pi}{12}$$Es bleiben 2 Parameter übrig:$$y(t)=a\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\,t+c\right)$$

Darin setzen wir die beiden Bedingungen ein:$$-4=y(0)=a\cdot\sin(c)$$$$\;\;\,3\,=y(4)=a\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}+c\right)=a\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos c+a\cdot\sin c\cdot\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$$Wir dividieren die zweite Gleichung durch die erste:$$-\frac{3}{4}=\frac{a\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos c+a\cdot\sin c\cdot\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{a\cdot\sin c}=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cot(c)+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\quad\Rightarrow$$$$\cot(c)=\frac{-\frac{3}{4}-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{-\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=-\frac{5}{2\sqrt3}\quad\Rightarrow\quad c\approx-0,6059$$Schließlich erhalten wir noch den Parameter $a$:$$a=\frac{-4}{\sin (-0,6059)}\approx7,0238$$Damit haben wir die Funktion gefunden:$$y(t)=7,0238\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\,t-0,6059\right)$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 7,0238·sin(π/12·x-0,6059)P(0|-4)P(4|3)Zoom: x(-12…12) y(-8…8)

Comments

Oh wow.. das hab ich nun wirklich nicht erwartet.. aber Vielen dank dafür! :O

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Könntest du vielleicht erläutern, wie du den Term, zweite Gleichung durch die erste Gleichung vereinfacht hast?

Der cot ist mir nicht geläufig.. :(

LG Sven

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Der Cotangens ist der Kehrwert vom Tangens:$$\cot x=\frac{1}{\tan x}$$Und der Tangens ist Sinus durch Cosinus:$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\quad\Rightarrow\quad\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$In der Regel findet man auf dem Taschenrechner nur die Tangens-Funktion, was aber nicht schlimm ist, weil man einfach den Kehrwert nehmen kann.

Answer 2

. Der Abstand zweier benachbarter Nullstellen sei 12s.

Damit beträgt die Schwingungsdauer 24 s. Mit dieser Information solltest du b bestimmen können. Ohne Kenntnis von b kannst du den Rest nicht lösen. Welchen Wert hast du für b?

Comments

Es tut mir Leid für die Dauer meiner Antwort...

b, also die Periode T wird berechnet durch b= 2pi/T

Also müsste b= 1/12pi sein oder auch ~0,2618

Stimmt das?